本書(shū)注重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的概念、思想和方法來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力。涵蓋了微積分和線性代數(shù)兩部分內(nèi)容,具體包括函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分及其應(yīng)用、積分及其應(yīng)用、微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)、拉普拉斯變換、行列式、矩陣、線性方程組等基本內(nèi)容。特別是增加了高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,具體介紹了如何使用Mathematica軟件進(jìn)行高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),可極大地提高學(xué)生利用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
第一部分微積分
第1章 函數(shù)、極限與連續(xù)
1.1 函數(shù)
習(xí)題1-1
1.2 初等函數(shù)
習(xí)題1-2
1.3 常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)
習(xí)題1-3
1.4 極限的概念
習(xí)題1-4
1.5 極限的運(yùn)算
習(xí)題1-5
1.6 無(wú)窮小與無(wú)窮大一
習(xí)題1-6
1.7 函數(shù)的連續(xù)性
習(xí)題1-7
數(shù)學(xué)史話【1】
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分
2.1 導(dǎo)數(shù)的概念
習(xí)題2-1
2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則
習(xí)題2-2
2.3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
習(xí)題2-3
2.4 函數(shù)的微分
習(xí)題2-4
數(shù)學(xué)史話【2】
第3章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
3.1 中值定理
習(xí)題3-1
3.2 洛必達(dá)法則
習(xí)題3-2
3.3 函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性與極值
習(xí)題3-3
3.4 數(shù)學(xué)建模--最優(yōu)化
習(xí)題3-4
3.5 函數(shù)圖形的描繪
習(xí)題3-5
數(shù)學(xué)史話【3】
第4章不定積分
4.1 不定積分的概念與性質(zhì)
習(xí)題4-1
4.2 換元積分法
習(xí)題4-2
4.3 分部積分法
習(xí)題4-3
數(shù)學(xué)史話【4】
第5章 定積分及其應(yīng)用
5.1 定積分的概念
習(xí)題5-1
5.2 微積分基本公式
習(xí)題5-2
5.3 定積分的換元積分法和分部積分法
習(xí)題5-3
5.4 反常積分
習(xí)題5-4
5.5 定積分的應(yīng)用
習(xí)題5-5
數(shù)學(xué)史話【5】
第6章 多元函數(shù)微分學(xué)
6.1 多元函數(shù)的基本概念
……
第二部分 線性代數(shù)
附錄Ⅰ 高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)手冊(cè)
附錄Ⅱ 預(yù)備知識(shí)
附錄Ⅲ 利用Excel軟件做數(shù)據(jù)回歸分析
附錄Ⅳ 積分表
參考文獻(xiàn)
為了設(shè)計(jì)新一代的民用或軍用飛機(jī),在正式建造飛機(jī)的物理模型之前,工程師們首先會(huì)利用數(shù)值模擬技術(shù)在計(jì)算機(jī)虛擬仿真系統(tǒng)中構(gòu)建出飛機(jī)的三維模型,并通過(guò)對(duì)飛機(jī)飛行過(guò)程的虛擬來(lái)研究飛機(jī)周圍氣流的變化,以解決飛機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重大問(wèn)題這在很大程度上縮短了設(shè)計(jì)周期、節(jié)省了設(shè)計(jì)成本和降低了試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn),尤其是徹底打破了時(shí)間與空間的限制,這其中線性代數(shù)發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。雖然最后制造完成的飛機(jī)表面相當(dāng)平滑,但其幾何結(jié)構(gòu)實(shí)際上是錯(cuò)綜復(fù)雜的,除了機(jī)翼和機(jī)身,一架飛機(jī)還包括發(fā)動(dòng)機(jī)艙、水平尾翼、活動(dòng)輔助翼和副翼,飛機(jī)飛行時(shí)空氣在這些部件周圍的流動(dòng)方式?jīng)Q定了飛機(jī)在空中的飛行方式描述這些氣流的方程非常復(fù)雜,因此,為了研究氣流對(duì)飛機(jī)飛行的影響,工程師們需要高度精確地描述飛機(jī)的表面。為了得到飛機(jī)結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型,典型的做法是向飛機(jī)的虛擬實(shí)體模型中添加一個(gè)三維的立方體網(wǎng)格。每個(gè)小網(wǎng)格中的立方體稱為三維單元,它們或者完全位于飛機(jī)內(nèi)部,或者完全位于飛機(jī)外部,或者與飛機(jī)表面相交。一個(gè)典型的三維網(wǎng)格可能包含幾十萬(wàn)甚至上百萬(wàn)個(gè)三維單元,可以想象的是,網(wǎng)格細(xì)分的程度越高,它包含的三維單元的個(gè)數(shù)就越多,虛擬系統(tǒng)的仿真程度也就越高。當(dāng)網(wǎng)格的細(xì)分使得相關(guān)的三維單元足夠小時(shí),則在該單元上描述氣流的復(fù)雜方程可被簡(jiǎn)單的線性方程(組)近似代替。因此,計(jì)算飛機(jī)表面的氣流實(shí)質(zhì)上需要反復(fù)求解包含多達(dá)數(shù)百萬(wàn)個(gè)線性方程和未知量的線性方程組。即使利用目前市場(chǎng)上運(yùn)算速度最快的計(jì)算機(jī),工程師們建立并求解一個(gè)氣流問(wèn)題也要花費(fèi)幾小時(shí)到幾天的計(jì)算時(shí)間。而整個(gè)虛擬仿真過(guò)程可能要處理上千個(gè)這樣的問(wèn)題。上一段中描述的將一個(gè)實(shí)體模型劃分為有限個(gè)單元以及在充分小的單元上將復(fù)雜方程近似線性化的思想就是目前在許多計(jì)算與仿真軟件系統(tǒng)中廣泛采用的“有限單元法”的基本思想,它自20世紀(jì)80年代起迅速發(fā)展,目前已成為眾多計(jì)算與仿真軟件系統(tǒng)的算法基礎(chǔ)。