不斷有許多只言片語的數(shù)學(xué)傳聞從導(dǎo)師傳到學(xué)生或者從同事傳到同事,但這些常常是模糊的,而在正式文獻(xiàn)中去進(jìn)行討論又顯得不甚嚴(yán)肅。通常對知道這種“數(shù)學(xué)傳說”的人來說也只是個碰巧的機(jī)會而已。但是到了今天,這樣一些只言片語也可通過研究博客這種半正式的媒體進(jìn)行有效和高效率的傳播。這本書便是由博客產(chǎn)生的。
近年來,我國的科學(xué)技術(shù)取得了長足進(jìn)步,特別是在數(shù)學(xué)等自然科學(xué)基礎(chǔ)領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)出一流的研究成果。與此同時,國內(nèi)的科研隊(duì)伍與國外的交流合作也越來越密切,越來越多的科研工作者可以熟練地閱讀英文文獻(xiàn),并在國際頂級期刊發(fā)表英文學(xué)術(shù)文章,在國外出版社出版英文學(xué)術(shù)著作。
然而,在國內(nèi)閱讀海外原版英文圖書仍不是非常便捷。一方面,這些原版圖書主要集中在科技、教育比較發(fā)達(dá)的大中城市的大型綜合圖書館以及科研院所的資料室中,普通讀者借閱不甚容易;另一方面,原版書價格昂貴,動輒上百美元,購買也很不方便。這極大地限制了科技工作者對于國外先進(jìn)科學(xué)技術(shù)知識的獲取,間接阻礙了我國科技的發(fā)展。
高等教育出版社本著植根教育、弘揚(yáng)學(xué)術(shù)的宗旨服務(wù)我國廣大科技和教育工作者,同美國數(shù)學(xué)會(American Mathematical Society)合作,在征求海內(nèi)外眾多專家學(xué)者意見的基礎(chǔ)上,精選該學(xué)會近年出版的數(shù)十種專業(yè)著作,組織出版了“美國數(shù)學(xué)會經(jīng)典影印系列”叢書。美國數(shù)學(xué)會創(chuàng)建于1888年,是國際上極具影響力的專業(yè)學(xué)術(shù)組織,目前擁有近30000會員和580余個機(jī)構(gòu)成員,出版圖書3500多種,馮,諾依曼、萊夫謝茨、陶哲軒等世界級數(shù)學(xué)大家都是其作者。本影印系列涵蓋了代數(shù)、幾何、分析、方程、拓?fù)、概率、動力系統(tǒng)等所有主要數(shù)學(xué)分支以及新近發(fā)展的數(shù)學(xué)主題。
我們希望這套書的出版,能夠?qū)鴥?nèi)的科研工作者、教育工作者以及青年學(xué)生起到重要的學(xué)術(shù)引領(lǐng)作用,也希望今后能有更多的海外優(yōu)秀英文著作被介紹到中國。
陶哲軒,2014年數(shù)學(xué)突破獎得主。他是加州大學(xué)洛杉磯分校(UCLA)的James和Carol Collis講席教授,24歲就晉升為全職教授。2006年他就已經(jīng)成為了獲得Fields獎的年輕數(shù)學(xué)家。他的其他榮譽(yù)還包括了美國工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會的George Polya獎(2010),國家科學(xué)基金會的Alan T.Waterman獎(2008),SASTRA Ramanujan獎(2006),Clay數(shù)學(xué)研究所的Clay獎(2003),美國數(shù)學(xué)會的Bochner紀(jì)念獎(2002)以及Salem獎(2000)。
Preface
A remark on notation
Acknowledgments
Chapter 1 Expository Articles
1.1 Dvir's proof of the finite field Kakeya conjecture
1.2 The Black-Scholes equation
1.3 Hassell's proof of scarring for the Bunimovich stadium
1.4 What is a gauge?
1.5 When are eigenvalues stable?
1.6 Concentration compactness and the profile decomposition
1.7 The Kakeya conjecture and the Ham Sandwich theorem
1.8 An airport-inspired puzzle
1.9 A remark on the Kakeya needle problem
Chapter 2 The Poincare Conjecture
2.1 Riemannian manifolds and curvature
2.2 Flows on Riemannian manifolds
2.3 The Ricci flow approach to the Poincare conjecture
2.4 The maximum principle, and the pinching phenomenon
2.5 Finite time extinction of the second homotopy group
2.6 Finite time extinction of the third homotopy group, I
2.7 Finite time extinction of the third homotopy group, II
2.8 Rescaling of Ricci flows and k-non-collapsing
2.9 Ricci flow as a gradient flow, log-Sobolev inequalities, and Perelman entropy
2.10 Comparison geometry, the high-dimensional limit, and the Perelman reduced volume
2.11 Variation of L-geodesics, and monotonicity of the Perelman reduced volume
2.12 k-non-collapsing via Perelman's reduced volume
2.13 High curvature regions of Ricci flow and k-solutions
2.14 Li-Yau-Hamilton Harnack inequalities and k-solutions
2.15 Stationary points of Perelman's entropy or reduced volume are gradient shrinking solitons
2.16 Geometric limits of Ricci flows, and asymptotic gradient shrinking solitons
2.17 Classification of asymptotic gradient shrinking solitons
2.18 The structure of k-solutions
2.19 The structure of high-curvature regions of Ricci flow
2.20 The structure of Ricci flow at the singular time, surgery, and the Poincare conjecture
Bibliography
Index