本書分為拓?fù)淇臻g和距離空間、數(shù)值函數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g三章,內(nèi)容包括:直線R上的拓?fù)、拓(fù)淇臻g、距離空間、數(shù)值函數(shù)的極限概念、Hilbert空間等。
《法蘭西數(shù)學(xué)精品譯叢》序
出版者的話
《分析與拓?fù)洹纷g者序
第二版序言
修訂版序言
C1證書的拓?fù)鋵W(xué)大綱
第一章 拓?fù)淇臻g和距離空間
引言
Ⅰ.直線R上的拓?fù)?
§1.開(kāi)集、閉集、鄰域、集合的界
§2.序列極限.cauchy收斂準(zhǔn)則
§3.有界閉區(qū)間的緊性
§4.空間Rn的拓?fù)?
Ⅱ.拓?fù)淇臻g
§5.開(kāi)集、閉集、鄰域
§6.閉包、內(nèi)部、邊界
§7.連續(xù)函數(shù).同胚
§8.極限概念
§9.拓?fù)淇臻g的子空間
§10.空間的有限積
§11.緊空間
§12.局部緊空間.緊化
§13.連通性
§14.拓?fù)淙骸⑼負(fù)洵h(huán)和拓?fù)溆?
Ⅲ.距離空間
§15.距離和擬距離
§16.距離空間的拓?fù)?
§17.一致連續(xù)性
§18.緊距離空間
§19.連通距離空間
§20.Cauchy列和完備空間
§21.逐次逼近法的模式
§22.簡(jiǎn)單收斂和一致收斂
§23.等度連續(xù)函數(shù)空間
§24.全變差和長(zhǎng)度
Ⅳ.習(xí)題
直線R與空間Rn
拓?fù)淇臻g
距離空間
Ⅴ.第一章的法漢術(shù)語(yǔ)對(duì)照和索引
Ⅵ.參考文獻(xiàn)
Ⅶ.定義和公理
Ⅷ.經(jīng)典記號(hào)的回顧
第二章 數(shù)值函數(shù)
Ⅰ.定義在任意集合上的數(shù)值函數(shù)
§1.F(E,R)和F(E,R)上的序關(guān)系
§2.數(shù)值函數(shù)的界
§3.函數(shù)族的上包絡(luò)和下包絡(luò)
Ⅱ.數(shù)值函數(shù)的極限概念
§4.函數(shù)沿E上的濾子基的上、下極限
§5.函數(shù)族的上、下極限
§6.在連續(xù)函數(shù)上的運(yùn)算
Ⅲ.半連續(xù)數(shù)值函數(shù)
§7.點(diǎn)上的半連續(xù)性
§8.全空間上的下半連續(xù)函數(shù)
§9.下半連續(xù)函數(shù)的構(gòu)造
§10.緊致空間上的半連續(xù)函數(shù)
§11.長(zhǎng)度的半連續(xù)性
Ⅳ.Stone-Weierstrass定理
§12.Stone.Weierstrass定理
Ⅴ.定義在R的區(qū)間上的函數(shù)
§13.左、右極限
§14.單調(diào)函數(shù)
§15.有限增量定理
§16.凸函數(shù)的定義.直接性質(zhì)
§17.凸函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性
§18.凸性準(zhǔn)則.
§19.向量空間的子集上的凸函數(shù)
§20.單調(diào)函數(shù)的相對(duì)平均值
Ⅵ.習(xí)題
定義在任意集合上的數(shù)值函數(shù)
定義在拓?fù)淇臻g上的數(shù)值函數(shù)
半連續(xù)數(shù)值函數(shù)
Stone-Weierstrass定理
定義在區(qū)間上的函數(shù)
凸函數(shù)
平均值和不等式
Ⅶ.第二章的法漢術(shù)語(yǔ)對(duì)照和索引
Ⅷ.參考文獻(xiàn)
Ⅸ.定義和公理
第三章 拓?fù)湎蛄靠臻g
Ⅰ.一般拓?fù)湎蛄靠臻g.例子
§1.拓?fù)湎蛄靠臻g的定義和初等性質(zhì)
§2.關(guān)聯(lián)于半范數(shù)族的拓?fù)?
§3.拓?fù)湎蛄靠臻g的經(jīng)典實(shí)例
Ⅱ.賦范空間
§4.關(guān)聯(lián)于范數(shù)的拓?fù)?連續(xù)線性映射
§5.單態(tài)射和同構(gòu)的穩(wěn)定性
§6.賦范空間的乘積.連續(xù)多重線性映射
§7.有限維賦范空間
Ⅲ.可和族.級(jí)數(shù).無(wú)窮乘積.賦范代數(shù)
§8.實(shí)數(shù)可和族
§9.拓?fù)淙汉唾x范空間上的可和族
§10.級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)的比較與可和族的比較
§11.函數(shù)級(jí)數(shù)與函數(shù)可和族
§12.復(fù)數(shù)可乘族與復(fù)數(shù)無(wú)窮乘積
§13.賦范代數(shù)
Ⅳ.Hilbert空間
§14.準(zhǔn)Hilbert空間的定義和初步性質(zhì)
§15.正交投影.對(duì)偶的研究
§16.正交系
§17.Fourier級(jí)數(shù)和正交多項(xiàng)式
Ⅴ.習(xí)題
一般拓?fù)湎蛄靠臻g
關(guān)聯(lián)于半范數(shù)族的拓?fù)?
關(guān)聯(lián)于范數(shù)的拓?fù)?
范數(shù)的比較
范數(shù)和凸函數(shù)
賦范空間上的線性型
拓?fù)鋵?duì)偶空間和二次對(duì)偶空間
緊致線性映射
完備賦范空間
可分賦范空間
非連續(xù)線性映射
賦范空間的乘積和直和
有限維賦范空間
實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的可和族
拓?fù)淙汉唾x范空間上的可和族
級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)的比較與可和族的比較
函數(shù)級(jí)數(shù)與函數(shù)可和族
復(fù)數(shù)可乘族與復(fù)數(shù)無(wú)窮乘積
賦范代數(shù)
準(zhǔn)Hilbert空間的初等性質(zhì)
正交投影.對(duì)偶空間的研究
正交系
正交多項(xiàng)式
Ⅵ.第三章的法漢術(shù)語(yǔ)對(duì)照和索引
Ⅶ.參考文獻(xiàn)
Ⅷ.定義和公理
第一章拓?fù)淇臻g和距離空間
引言
一般拓?fù)鋵W(xué)形成一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的理論整體那還只是半個(gè)世紀(jì)以來(lái)的事情①;但它可以追溯到古代,是人們思想發(fā)展的必然結(jié)果。
當(dāng)希臘數(shù)學(xué)家企圖將數(shù)的概念精確化的時(shí)候,極限與連續(xù)的概念就擺到了他們面前。然而,為了澄清收斂序列、收斂級(jí)數(shù)和連續(xù)函數(shù)的概念,尚需等待Cauchy(1821)和Abel(1823)的著作的問(wèn)世。
到了Riemann(1851)的時(shí)代,框架更為擴(kuò)大;在Riemann的晉級(jí)論文《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》中,他擬就了一個(gè)輝煌的大綱,即研究“多次擴(kuò)大的度量的一般概念,這里不僅擴(kuò)張到任意維的流形,并且也包括函數(shù)空間和集合的空間。
但是如果不具備對(duì)實(shí)直線(Dedekind)和對(duì)數(shù)值函數(shù)(Riemann,Weierstrass)的良好知識(shí),尤其是缺乏一種既精確又一般的語(yǔ)言,一個(gè)這樣的大綱是不可能實(shí)現(xiàn)的。Cantor(1873)創(chuàng)造了這種語(yǔ)言,從而打開(kāi)了通向新世界的大門。