全書共有18章,主要內(nèi)容為:可測集與可測函數(shù)、勒貝格積分、可和函數(shù)與平方可和函數(shù)、有界變差函數(shù)與斯蒂爾切斯積分、絕對連續(xù)函數(shù)與勒貝格不定積分等。
從上世紀50年代初起,在當時全面學習蘇聯(lián)的大背景下,國內(nèi)的高等學校大量采用了翻譯過來的蘇聯(lián)數(shù)學教材。這些教材體系嚴密,論證嚴謹,有效地幫助了青年學子打好扎實的數(shù)學基礎,培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學人才。到了60年代,國內(nèi)開始編纂出版的大學數(shù)學教材逐步代替了原先采用的蘇聯(lián)教材,但還在很大程度上保留著蘇聯(lián)教材的影響,同時,一些蘇聯(lián)教材仍被廣大教師和學生作為主要參考書或課外讀物繼續(xù)發(fā)揮著作用?陀^地說,從解放初一直到文化大革命前夕,蘇聯(lián)數(shù)學教材在培養(yǎng)我國高級專門人才中發(fā)揮了重要的作用,起了不可忽略的影響,是功不可沒的。
改革開放以來,通過接觸并引進在體系及風格上各有特色的歐美數(shù)學教材,大家眼界為之一新,并得到了很大的啟發(fā)和教益。但在很長一段時間中,盡管蘇聯(lián)的數(shù)學教學也在進行積極的探索與改革,引進卻基本中斷,更沒有及時地進行跟蹤,能看懂俄文數(shù)學教材原著的人也越來越少,事實上已造成了很大的隔膜,不能不說是一個很大的缺憾。
事情終于出現(xiàn)了一個轉折的契機。今年初,在由中國數(shù)學會、中國工業(yè)與應用數(shù)學學會及國家自然科學基金委員會數(shù)學天元基金聯(lián)合組織的迎春茶話會上,有數(shù)學家提出,莫斯科大學為慶祝成立250周年計劃推出一批優(yōu)秀教材,建議將其中的一些數(shù)學教材組織翻譯出版。這一建議在會上得到廣泛支持,并得到高等教育出版社的高度重視。會后高等教育出版社和數(shù)學天元基金一起邀請熟悉俄羅斯數(shù)學教材情況的專家座談討論,大家一致認為:在當前著力引進俄羅斯的數(shù)學教材,有助于擴大視野,開拓思路,對提高數(shù)學教學質(zhì)量、促進數(shù)學教材改革均十分必要!抖砹_斯數(shù)學教材選譯》系列正是在這樣的情況下,經(jīng)數(shù)學天元基金資助,由高等教育出版社組織出版的。
那湯松(1906-1964),本書的作者N.ㄇ.那湯松是俄羅斯(蘇聯(lián)時期)杰出的數(shù)學家1929年畢業(yè)于列寧格勒大學(今圣彼得堡大學)數(shù)學力學系數(shù)學教育家廠M菲赫金哥爾茨是他的第一個老師、從大學時代起,他在數(shù)學家CH伯恩斯坦院士的影響下,開始了函數(shù)構造論的研究,這個領域的研究貫穿了他的一生1935年不經(jīng)論文答辯而直接被授予數(shù)學物理副博士學位,1937年經(jīng)論文答辯獲得博士學位,1939年成為教授他的研究領域頗為廣泛:正交多項式、內(nèi)插方法、矩問題、吉布斯現(xiàn)象及逼近論的其他問題;還有作為純粹數(shù)學的函數(shù)論與泛函分析
他以一系列出色的教科書與學術著作而知名他的重要著作有《實變函數(shù)論》和《函數(shù)構造論》,前者影響及于好幾代數(shù)學家,后者曾引導許多后來成為第一流數(shù)學家的人進入研究領域、此外他還有一系列數(shù)學科普著作問世
無論是著書還是講課,他都是論述詳盡、明晰而又字斟句酌、精雕細刻、言簡意賅,充分表現(xiàn)了他的教育才能函數(shù)構造論的列寧格勒(圣彼得堡)學派在很大程度上是由他的學生組成的。
《俄羅斯數(shù)學教材選譯》序
初版序言摘要
第2版序言
第一章 無窮集
1.集的運算
2.一一對應
3.可數(shù)集
4.連續(xù)統(tǒng)的勢
5.勢的比較
第二章 點集
1.極限點
2.閉集
3.內(nèi)點及開集
4.距離及隔離性
5.有界開集及有界閉集的結構
6.凝聚點、閉集的勢
第三章 可測集
1.有界開集的測度
2.有界閉集的測度
3.有界集的內(nèi)測度與外測度
4.可測集
5.可測性及測度對于運動的不變性
6.可測集類
7.測度問題的一般注意
8.維塔利定理
第四章 可測函數(shù)
1.可測函數(shù)的定義及最簡單的性質(zhì)
2.可測函數(shù)的其他性質(zhì)
3.可測函數(shù)列、依測度收斂
4.可測函數(shù)的結構
5.魏爾斯特拉斯定理
第五章 有界函數(shù)的勒貝格積分
1.勒貝格積分的定義
2.積分的基本性質(zhì)
3.在積分號下取極限
4.黎曼積分與勒貝格積分的比較
5.求原函數(shù)的問題
第六章 可和函數(shù)
1.非負可測函數(shù)的積分
2.任意符號的可和函數(shù)
3.在積分號下取極限
第七章 平方可和函數(shù)
1.主要定義、不等式、范數(shù)
2.均方收斂
3.正交系
4.空間ι2
5.線性無關組
56.空間Lp與ιp
第八章 有界變差函數(shù)、斯蒂爾切斯積分
1.單調(diào)函數(shù)
2.集的映射、單調(diào)函數(shù)的微分
3.有界變差函數(shù)
4.黑利的選擇原理
5.有界變差的連續(xù)函數(shù)
6.斯蒂爾切斯積分
7.在斯蒂爾切斯積分號下取極限
8.線性泛函
第九章 絕對連續(xù)函數(shù)、勒貝格不定積分
1.絕對連續(xù)函數(shù)
2.絕對連續(xù)函數(shù)的微分性質(zhì)
3.連續(xù)映射
4.勒貝格不定積分
5.勒貝格積分的變量變換
6.稠密點、近似連續(xù)
7.有界變差函數(shù)及斯蒂爾切斯積分的補充
8.求原函數(shù)的問題
第十章 奇異積分、三角級數(shù)、凸函數(shù)
1.奇異積分的概念
2.用奇異積分在給定點表示函數(shù)
3.在傅里葉級數(shù)論中的應用
4.三角級數(shù)及傅里葉級數(shù)的其他性質(zhì)
5.施瓦茨導數(shù)及凸函數(shù)
6.函數(shù)的三角級數(shù)展開的唯一性
第十一章 二維空間的點集
1.閉集
2.開集
3.平面點集的測度論
4.可測性及測度對于運動的不變性
5.平面點集的測度與其截線的測度間的聯(lián)系
第十二章 多元可測函數(shù)及其積分
1.可測函數(shù)、連續(xù)函數(shù)的拓廣
2.勒貝格積分及其幾何意義
3.富比尼定理
4.積分次序的變更
第十三章 集函數(shù)及其在積分論中的應用
1.絕對連續(xù)的集函數(shù)
2.不定積分及其微分
3.上述結果的推廣
第十四章 超限數(shù)
1.有序集、序型
2.良序集
3.序數(shù)
4.超限歸納法
5.第二數(shù)類
6.阿列夫
7.策梅洛公理和定理
第十五章 貝爾分類
1.貝爾類
2.貝爾類的不空性
3.第一類的函數(shù)
4.半連續(xù)函數(shù)
第十六章 勒貝格積分的某些推廣
1.引言
2.佩龍積分的定義
3.佩龍積分的基本性質(zhì)
4.佩龍不定積分
5.佩龍積分與勒貝格積分的比較
6.積分的抽象定義及其推廣
7.狹義的當茹瓦積分
8.T.哈蓋定理
9.Ⅱ.C.亞歷山德羅夫-T.羅曼定理
10.廣義的當茹瓦積分的概念
第十七章 在無界區(qū)域上定義的函數(shù)
1.無界集的測度
2.可測函數(shù)
3.在無界集上的積分
4.平方可和函數(shù)
5.有界變差函數(shù)、斯蒂爾切斯積分
6.不定積分及絕對連續(xù)的集函數(shù)
第十八章 泛函分析的某些知識
1.度量空間及其特殊情形——賦范線性空間
2.緊性
3.某些空間的緊性條件
4.巴拿赫的“不動點原理”及其某些應用
附錄
I.曲線弧的長
II.施坦豪斯例子
III.關于凸函數(shù)的某些補充知識
補充 豪斯多夫定理
外國數(shù)學家譯名對照表
名詞索引
第5版校訂后記