本書緊密結(jié)合現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，對中小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念、基本理論進(jìn)行適當(dāng)?shù)年U述、加深與拓廣，力求用較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、思想與方法，對初等數(shù)學(xué)作比較深入的研究，力求使用通俗的語言、嚴(yán)密的論述，結(jié)合典型實(shí)例研究解題思路與方法，使教材具有較好的可讀性與思考性.
全書共分11章，包含數(shù)、整除與同余、解析式、初等函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何、求解與三角形有關(guān)的幾何量、幾何證明，幾何作圖等內(nèi)容，每章之后均精選有各種類型和不同梯度的習(xí)題，并附有參考答案.
本書可作為高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的教材，也可作為中小學(xué)教師繼續(xù)教育、各類數(shù)學(xué)教育工作者的參考書.
前言
“初等數(shù)學(xué)研究”是高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的必修課程.本書根據(jù)“初等數(shù)學(xué)研究”課程標(biāo)準(zhǔn)的要求進(jìn)行編寫.本書中的初等數(shù)學(xué)泛指基礎(chǔ)教育階段的中小學(xué)數(shù)學(xué).本書緊密結(jié)合現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，對中小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念、基本原理、基本方法等基本理論進(jìn)行適當(dāng)?shù)年U述、加深與拓廣，力求用較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、思想與方法，對初等數(shù)學(xué)作比較深入的研究，力求使用通俗的語言、嚴(yán)密的論述，結(jié)合典型實(shí)例，使教材具有較好的可讀性與思考性，力求在總結(jié)自己教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)充分吸收各位前輩和同仁的經(jīng)驗(yàn)和方法，豐富本書內(nèi)容.
全書共分11章，包含數(shù)、整除與同余、解析式、初等函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何、求解與三角形有關(guān)的幾何量、幾何證明、幾何作圖等內(nèi)容，每章之后均精選有各種類型和不同梯度的習(xí)題供讀者練習(xí)，并附有參考答案.
本書在編寫的過程中，得到了宋杰、簡國明、孫宇鋒、鄧四清、李銀等領(lǐng)導(dǎo)的支持和幫助.同事李善佳、羅靜、盛維林等老師，嶺南師范學(xué)院張映姜、陳美英等老師，嘉應(yīng)學(xué)院藺云、侯新華、陳星榮等老師，肇慶學(xué)院王傳利、吳振英、蘇麗卿等老師，惠州學(xué)院沈威、王海清等老師，北京師范大學(xué)珠海分校馬迎秋老師，韓山師范學(xué)院歐慧謀、張磊、黃紅梅等老師，五邑大學(xué)吳焱生、盛業(yè)青、金迎迎等老師，南昌師范學(xué)院胡啟宙老師，景德鎮(zhèn)學(xué)院黃順發(fā)老師，新余學(xué)院陳裕先老師，萍鄉(xiāng)學(xué)院程麗萍老師等為本書的編寫提出了許多寶貴的建議和熱情鼓勵，在此表示衷心的感謝.
本書在出版過程中得到了清華大學(xué)出版社的大力支持，特別是清華大學(xué)出版社劉穎編審付出了大量的心血.在此表示衷心的感謝.
本書可作為高等師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的教材，也可作為中小學(xué)教師繼續(xù)教育、各類數(shù)學(xué)教育工作者的參考書.
本書在編寫過程中，引用或參考了現(xiàn)有初等數(shù)學(xué)研究教材、數(shù)學(xué)專著、數(shù)學(xué)叢書、數(shù)學(xué)論文、數(shù)學(xué)帖子及中小學(xué)教師課堂教學(xué)中的內(nèi)容等方面的內(nèi)容，在此謹(jǐn)向有關(guān)作者表示由衷的謝意.
由于編者水平有限，錯誤和缺點(diǎn)在所難免，懇請讀者批評指正.
編者
2017年5月于廣東韶關(guān)
第1章數(shù)
1.1數(shù)的擴(kuò)充
1.1.1自然擴(kuò)充
1.1.2理論擴(kuò)充
1.1.3擴(kuò)充原則
1.2正整數(shù)的序數(shù)理論
1.2.1皮亞諾公理
1.2.2正整數(shù)的運(yùn)算
1.2.3正整數(shù)的性質(zhì)
1.3數(shù)學(xué)歸納法
1.4正整數(shù)的基數(shù)理論
1.5整數(shù)
1.6有理數(shù)
1.6.1有理數(shù)的定義及運(yùn)算
1.6.2有理數(shù)的順序關(guān)系
1.6.3有理數(shù)的性質(zhì)
1.7實(shí)數(shù)
1.7.1無理數(shù)的引入
1.7.2實(shí)數(shù)的無限小數(shù)定義
1.7.3實(shí)數(shù)的順序
1.7.4實(shí)數(shù)的性質(zhì)
1.7.5區(qū)間套定義實(shí)數(shù)
1.7.6實(shí)數(shù)的運(yùn)算
1.8復(fù)數(shù)
1.8.1復(fù)數(shù)概念
1.8.2復(fù)數(shù)的性質(zhì)
1.8.3復(fù)數(shù)的應(yīng)用
1.9多元數(shù)
思考與練習(xí)題1
第2章整除與同余
2.1整除
2.2同余
2.3中國剩余定理
思考與練習(xí)題2
第3章解析式
3.1相關(guān)概念
3.2多項(xiàng)式
3.2.1多項(xiàng)式的恒等
3.2.2齊次、對稱、輪換、交代多項(xiàng)式
3.2.3多項(xiàng)式因式分解
3.3分式
3.3.1基本概念
3.3.2部分分式
3.4根式
3.4.1基本概念
3.4.2復(fù)合二次根式
3.4.3共軛因式
思考與練習(xí)題3
第4章初等函數(shù)
4.1函數(shù)概念
4.1.1相關(guān)概念
4.1.2復(fù)合函數(shù)
4.1.3反函數(shù)
4.1.4基本初等函數(shù)
4.2初等函數(shù)及其分類
4.2.1初等函數(shù)
4.2.2初等函數(shù)的分類
4.3用初等方法討論初等函數(shù)
4.3.1函數(shù)的周期性
4.3.2函數(shù)變換
4.4三角函數(shù)
4.4.1兩角和與差的余弦公式、正弦公式、正切公式
4.4.2倍角公式
4.4.3半角公式
4.4.4積化和差公式與和差化積公式
思考與練習(xí)題4
第5章方程
5.1基本概念
5.2整式方程的變換
5.3特殊整式方程的解法介紹
5.3.1二項(xiàng)方程
5.3.2三項(xiàng)方程
5.3.3三次方程
5.3.4四次方程
5.3.5倒數(shù)方程
5.4不定方程
5.4.1二元一次不定方程(組)
5.4.2多元一次不定方程
5.4.3非一次不定方程(組)
5.4.4商高不定方程
5.5整式方程組
思考與練習(xí)題5
第6章不等式
6.1幾個(gè)重要的不等式
6.2不等式的證明方法
6.3不等式恒成立問題
思考與練習(xí)題6
第7章數(shù)列
7.1基本數(shù)列
7.1.1等差數(shù)列及其簡單性質(zhì)
7.1.2等比數(shù)列及其簡單性質(zhì)
7.2遞推數(shù)列
思考與練習(xí)題7
第8章解析幾何
8.1直線與圓
8.2橢圓
8.3雙曲線
8.4拋物線
8.5圓錐曲線綜合應(yīng)用
思考與練習(xí)題8
第9章求解與三角形有關(guān)的幾何量
9.1基本定理及其等價(jià)性
9.2廣勾股定理與斯圖爾特定理
9.2.1勾股定理
9.2.2廣勾股定理
9.2.3斯圖爾特定理
思考與練習(xí)題9
第10章幾何證明
10.1幾何證明的常用方法
10.1.1常用方法
10.1.2一題多證
10.2常用幾何定理介紹
思考與練習(xí)題10
第11章幾何作圖
11.1作圖的基本知識
11.2三大尺規(guī)作圖不可能問題簡介
11.3非尺規(guī)作圖
11.4不限工具作圖
思考與練習(xí)題11
思考與練習(xí)題參考答案
思考與練習(xí)題1
思考與練習(xí)題2
思考與練習(xí)題3
思考與練習(xí)題4
思考與練習(xí)題5
思考與練習(xí)題6
思考與練習(xí)題7
思考與練習(xí)題8
思考與練習(xí)題9
思考與練習(xí)題10
思考與練習(xí)題11
參考文獻(xiàn)
第3章解析式
解析式是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，是在數(shù)的概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是數(shù)的概念的進(jìn)一步抽象與概括，是研究方程、函數(shù)的基礎(chǔ).
3.1相關(guān)概念
定義3.1用運(yùn)算符號和括號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做解析式.解析式又稱數(shù)學(xué)式子，簡稱式.
初等數(shù)學(xué)里的運(yùn)算包括初等代數(shù)運(yùn)算和初等超越運(yùn)算.初等代數(shù)運(yùn)算是指有限次的加、減、乘、除、正整數(shù)次乘方、開方.初等超越運(yùn)算包括無理數(shù)次乘方、對數(shù)、三角和反三角運(yùn)算.
解析式按字母進(jìn)行什么運(yùn)算加以分類.
定義3.2在一個(gè)解析式中，對字母只進(jìn)行有限次的代數(shù)運(yùn)算，這個(gè)解析式就稱為代數(shù)式.對字母進(jìn)行了有限次的初等超越運(yùn)算，這個(gè)解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式.
下面對代數(shù)式作進(jìn)一步的分類.
定義3.3只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運(yùn)算的代數(shù)式，叫做有理式.
只含有加、減、乘(包括非負(fù)整數(shù)次乘方)運(yùn)算的有理式叫做有理整式(或多項(xiàng)式).特別地，只含有乘法(包括非負(fù)整數(shù)次乘方)運(yùn)算的有理整式，叫做單項(xiàng)式.單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也看作單項(xiàng)式.
含有除法運(yùn)算的有理式叫做有理分式.含有開方運(yùn)算的代數(shù)式叫做無理式.
這樣，在中學(xué)范圍內(nèi)解析式可分類如下：
解析式代數(shù)式有理式有理整式(多項(xiàng)式)
……
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