本書介紹傅里葉變換和拉普拉斯變換這兩類積分變換的基本概念、性質(zhì)及應(yīng)用.每章章末都配有精選的習(xí)題和測(cè)試題,方便讀者檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果.書中性質(zhì)等相關(guān)證明過(guò)程詳細(xì),注重?cái)?shù)學(xué)思想、方法和技巧的運(yùn)用，有利于培養(yǎng)靈活多樣、舉一反三的科學(xué)素養(yǎng).書末附有常用函數(shù)的積分變換簡(jiǎn)表,可供學(xué)習(xí)時(shí)查用.
本書可供高等學(xué)校理工科相關(guān)專業(yè)作為教材使用,也可作為任課教師的教學(xué)參考書,還可供有關(guān)工程技術(shù)人員參考使用.
《積分變換》介紹傅里葉變換和拉普拉斯變換，既注重基礎(chǔ)應(yīng)用，又面向?qū)I(yè)拓展，計(jì)算方法多樣，論證詳細(xì)，能夠培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力。本書每章附精選習(xí)題和測(cè)試題，并針對(duì)不同層次學(xué)生的需要，書中部分內(nèi)容標(biāo)記“*”，，可根據(jù)需求自由選學(xué)。本書可供高等學(xué)校理工科相關(guān)專業(yè)作為教材使用，也可作為工程技術(shù)人員參考使用。
積分變換是高等學(xué)校理工科的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)理論課程，它不僅是學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程和在各學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行科學(xué)研究及實(shí)踐的必要基礎(chǔ),而且在培養(yǎng)符合現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展的高素質(zhì)應(yīng)用型人才方面起著重要作用.為適應(yīng)教學(xué)及課程改革發(fā)展的新形勢(shì),編者按照高等學(xué)校理工類積分變換課程的教學(xué)基本要求,精心策劃,組織在教學(xué)一線多年的教師編寫此書.
在編寫過(guò)程中,編者參考了國(guó)內(nèi)外眾多同類優(yōu)秀教材和書籍,借鑒和吸收相關(guān)成果.盡可能用直觀、形象的方法來(lái)講解數(shù)學(xué)概念，并結(jié)合工程技術(shù)上的實(shí)例來(lái)理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)容.力求做到由淺入深,循序漸進(jìn),通俗易懂,突出重點(diǎn),論證詳細(xì),注重?cái)?shù)學(xué)思想、方法和技巧的運(yùn)用,注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活多樣、舉一反三的科學(xué)素養(yǎng).
本書的主要特點(diǎn)如下.
（1）知識(shí)脈絡(luò)清晰,結(jié)構(gòu)合理.
�。�2）既注重基礎(chǔ)應(yīng)用,又面向?qū)I(yè)拓展.
（3）計(jì)算方法多樣,論證詳細(xì),培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.
�。�4）每章末除精心選配習(xí)題外,還附有測(cè)試題,參考答案見清華大學(xué)出版社官方網(wǎng)站，方便學(xué)生自我檢測(cè)學(xué)習(xí)效果.
�。�5）為滿足不同專業(yè)、不同層次學(xué)生的需要,書中部分內(nèi)容標(biāo)記“*”,可根據(jù)需求自由選學(xué).
（6）書末附有積分變換簡(jiǎn)表,以備需要時(shí)查用.
閱讀本書需要具備一定的高等數(shù)學(xué)和復(fù)變函數(shù)的知識(shí).本書可供高等學(xué)校理工科相關(guān)專業(yè)作為教材使用，也可作為任課教師的教學(xué)參考書，還可供有關(guān)工程技術(shù)人員參考使用.
本書中,孫立偉編寫了第一章,汪宏遠(yuǎn)編寫了第二章，邢志紅為主審.本書的編寫和出版得到了學(xué)校相關(guān)部門、同行和出版社的大力支持與幫助，謹(jǐn)在此表示誠(chéng)摯的感謝.
由于編者水平有限,書中難免存在缺點(diǎn)與不妥之處,敬請(qǐng)讀者多提寶貴意見.
編者
2017年4月
引言
第一章傅里葉變換
第一節(jié)傅里葉變換概述
一、 周期函數(shù)fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)
二、 非周期函數(shù)f(t)的傅里葉積分
三、 傅里葉變換的概念
四、 傅里葉變換的物理意義——頻譜
第二節(jié)單位脈沖函數(shù)及其傅里葉變換
一、 迪拉克函數(shù)(δ函數(shù))
二、 δ函數(shù)的性質(zhì)
三、 δ函數(shù)的傅里葉變換
第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)
一、 線性性質(zhì)
二、 對(duì)稱性質(zhì)
三、 位移性質(zhì)
四、 相似性質(zhì)
五、 微分性質(zhì)
六、 積分性質(zhì)
*七、 乘積定理
*八、 帕塞瓦爾（Parseval）定理
第四節(jié)卷積和卷積定理
一、 卷積及其性質(zhì)
二、 卷積定理
*三、 相關(guān)函數(shù)
第五節(jié)傅里葉變換的應(yīng)用
一、 微分、積分方程的傅里葉變換解法
*二、 偏微分方程的傅里葉變換解法
章末總結(jié)
傅里葉變換習(xí)題
傅里葉變換測(cè)試題
第二章拉普拉斯變換
第一節(jié)拉普拉斯變換的概念
一、 問(wèn)題的提出
二、 拉普拉斯變換的定義及存在定理
第二節(jié)拉普拉斯變換的性質(zhì)
一、 線性性質(zhì)
二、 相似性質(zhì)
三、 微分性質(zhì)
四、 積分性質(zhì)
五、 位移性質(zhì)
六、 延遲性質(zhì)
七、 周期函數(shù)的拉普拉斯變換
*八、 初值定理與終值定理
第三節(jié)拉普拉斯變換的卷積
一、 卷積的概念及性質(zhì)
二、 卷積定理
第四節(jié)拉普拉斯逆變換
一、 拉普拉斯反演積分公式
二、 拉普拉斯逆變換的求解方法
第五節(jié)拉普拉斯變換的應(yīng)用
一、 微分、積分方程的拉普拉斯變換解法
*二、 偏微分方程的拉普拉斯變換解法
*三、 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)
章末總結(jié)
拉普拉斯變換習(xí)題
拉普拉斯變換測(cè)試題
參考文獻(xiàn)
附錄Ⅰ傅里葉變換簡(jiǎn)表
附錄Ⅱ拉普拉斯變換簡(jiǎn)表
引言
在自然科學(xué)和工程技術(shù)中,為把較復(fù)雜的運(yùn)算簡(jiǎn)單化,人們常常采用變換的方法.如17世紀(jì),航海和天文學(xué)積累了大批觀測(cè)數(shù)據(jù),需要對(duì)它們進(jìn)行大量的乘除運(yùn)算.在當(dāng)時(shí),這是非常繁重的工作,為克服這個(gè)困難,1614年納皮爾（Napier)發(fā)明了對(duì)數(shù),它將乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算,通過(guò)兩次查表,便完成了這一艱巨的任務(wù).
18世紀(jì),微積分學(xué)中,人們通過(guò)微分、積分運(yùn)算求解物體的運(yùn)動(dòng)方程.到了19世紀(jì),英國(guó)著名的無(wú)線電工程師海維賽德（Heaviside）為求解電工學(xué)、物理學(xué)領(lǐng)域中的線性微分方程,逐步形成了一種所謂的符號(hào)法,后來(lái)就演變成了今天的積分變換法.即通過(guò)積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)經(jīng)過(guò)某種可逆的積分方法變成另一個(gè)函數(shù).在工程數(shù)學(xué)里，積分變換能夠?qū)⒎治鲞\(yùn)算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,簡(jiǎn)單、快速地完成復(fù)雜、耗時(shí)的運(yùn)算.正是積分變換的這一特性,使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成為重要的方法之一.
積分變換的理論和方法不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中,而且在其他自然科學(xué)和各種工程技術(shù)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用.
第一章傅里葉變換
傅里葉變換（Fourier變換）是一種對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的積分變換,通過(guò)特定形式的積分建立函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.它既能簡(jiǎn)化計(jì)算(如解微分方程或化卷積為乘積等),又具有明確的物理意義(從頻譜的角度來(lái)描述函數(shù)的特征),因而在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用.
第一節(jié)傅里葉變換概述
一、 周期函數(shù)fT(t)的傅里葉級(jí)數(shù)
在高等數(shù)學(xué)中,我們學(xué)習(xí)了傅里葉級(jí)數(shù),知道若fT(t)是以T為周期的周期函數(shù),并且fT(t)在－T2,T2上滿足狄利克雷（Dirichlet）條件,即在－T2,T2上滿足：
�。�1） 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；
�。�2） 至多只有有限個(gè)極值點(diǎn).
則在－T2,T2內(nèi),函數(shù)fT(t)可以展成傅里葉級(jí)數(shù).
在fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處,級(jí)數(shù)的三角形式為
fT(t)=a02+∑∞n=1(ancosnωt+bnsinnωt).（1.1）
其中,ω=2πT，a0=2T∫T2－T2fT(t)dt，an=2T∫T2－T2fT(t)cosnωtdt,n=1,2,3，…，bn=2T∫T2－T2fT(t)sinnωtdt,n=1,2,3，….
為今后應(yīng)用上的方便,下面將傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式即式（1.1）轉(zhuǎn)化為復(fù)指數(shù)形式.根據(jù)歐拉（Euler）公式：
cosθ=ejθ+e－jθ2，
sinθ=ejθ－e－jθ2j.
可得
fT(t)=a02+∑∞n=1(ancosnωt+bnsinnωt)=a02+∑∞n=1an－jbn2ejnωt+an+jbn2e－jnωt.
……
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