數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)與形。幾何學(xué)是研究形的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。最早的幾何學(xué)是歐氏幾何學(xué)。阿基米德創(chuàng)立的歐氏幾何學(xué)，用剛體運(yùn)動(dòng)研究幾何不變量，這是最原始的幾何學(xué)。笛卡兒發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)系后，形成了解析幾何，通過(guò)坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。隨著微積分的誕生，出現(xiàn)了微分幾何。20世紀(jì)40年代發(fā)明計(jì)算機(jī)后，為計(jì)算幾何的出現(xiàn)提供了物質(zhì)基礎(chǔ)，很多幾何問(wèn)題都可使用計(jì)算機(jī)來(lái)解決。計(jì)算幾何是以計(jì)算機(jī)為核心的、在信息環(huán)境下新產(chǎn)生的一門幾何學(xué)。計(jì)算幾何是對(duì)物體的形狀信息進(jìn)行計(jì)算機(jī)表示、分析與綜合。計(jì)算幾何的理論只有借助于計(jì)算機(jī)的編程進(jìn)實(shí)現(xiàn)，才能被更好地理解和應(yīng)用。

計(jì)算幾何的研究方面，國(guó)外有皮格爾（Piegl）與蒂勒（Tiller）合著的經(jīng)典教材The NURBS Book，書中重點(diǎn)介紹了關(guān)于NURBS 的理論和算法。作為NURBS的主要研究者，皮格爾與蒂勒提出要想從事CAD，必須了解NURBS。NURBS是計(jì)算幾何的集大成者，已成為形狀的表示、設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)交換的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。國(guó)內(nèi)蘇步青與劉鼎元先生于1981年合著且影響深遠(yuǎn)的《計(jì)算幾何》，開(kāi)啟了我國(guó)計(jì)算幾何研究的先河。北京航空航天大學(xué)的施法中先生出版的《計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條》已成為計(jì)算機(jī)幾何領(lǐng)域的翹楚，內(nèi)容涵蓋了國(guó)內(nèi)外近年來(lái)的最新研究進(jìn)展及施法中先生的創(chuàng)新。

本書的研究?jī)?nèi)容涉及Bezier、B樣條、NURBS曲線曲面。其中，數(shù)是指Bezier、B樣條、NURBS等曲線曲面理論中數(shù)學(xué)公式的嚴(yán)格推理，形是指借助于計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力，將曲線曲面的數(shù)學(xué)公式表達(dá)為圖形。分形幾何的創(chuàng)始人曼德?tīng)柌剂_特（Mandelbrot）曾說(shuō)過(guò)，看到數(shù)學(xué)公式，我首先想到的是圖形，圖形的問(wèn)題解決了，數(shù)學(xué)的問(wèn)題也就解決了。

為了降低理解曲線曲面理論的難度，本書編寫的出發(fā)點(diǎn)是基于計(jì)算幾何的基本理論，使用Visual C 編程生成曲線曲面圖形。這些圖形包括二維曲線圖形和三維曲面圖形。三維曲面圖形主要采用最簡(jiǎn)單的平行投影講解，這也有助于降低理解編程的難度。

本書不追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性與完整性，而注重于使用現(xiàn)有的曲線曲面的理論研究結(jié)論，編程繪制二維曲線及三維曲面。對(duì)于三維曲面，作者借助于三維圖形學(xué)技術(shù)，基于雙緩沖技術(shù)建立物體的線框模型，支持鍵盤方向鍵旋轉(zhuǎn)圖形，可從各個(gè)角度旋轉(zhuǎn)曲面進(jìn)行觀察。作者在大學(xué)中主要講授計(jì)算機(jī)圖形學(xué)課程，出版有普通高等教育十二五國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材計(jì)算機(jī)圖形學(xué)系列教材（見(jiàn)www.klingde.com）。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究的內(nèi)容是模型與渲染問(wèn)題。作者在講授計(jì)算機(jī)圖形學(xué)模型時(shí)，發(fā)現(xiàn)僅使用立方體、球體、圓環(huán)等模型太過(guò)乏味，進(jìn)而研究猶他茶壺，并使用Visual C 編程繪制了包含306個(gè)控制點(diǎn)的32片雙三次曲面。調(diào)用Visual C 編寫的不同程序模塊，學(xué)生可以選擇繪制壺蓋、壺嘴、壺體、壺柄、壺嘴等。這與直接調(diào)用OpenGL或3DS中的茶壺模型，只能繪制茶壺的整體效果是不同的。在此基礎(chǔ)上，指導(dǎo)博創(chuàng)研究所的學(xué)生基于B樣條方法與NURBS方法，使用MFC 框架建立不同旋轉(zhuǎn)體的曲面模型。

博創(chuàng)研究所開(kāi)發(fā)了一套平轉(zhuǎn)立系統(tǒng)，只要給出一段NURBS二維曲線，就可直接生成其三維模型，并可使用鍵盤方向鍵旋轉(zhuǎn)進(jìn)行交互觀察。作為教學(xué)相長(zhǎng)的范例，學(xué)生的快速進(jìn)步，促使我產(chǎn)生了編寫一本適合于應(yīng)用型本科院校使用的計(jì)算幾何教材的想法，而該教材應(yīng)該是圖文并茂的。為了編好本書，作者開(kāi)發(fā)了近100 多個(gè)源程序，并詳細(xì)編寫了程序注釋。博創(chuàng)研究所的石長(zhǎng)盛、李振林、陶作檸等同學(xué)全程參與了程序的設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā)，付出了辛苦的努力，在此一并致謝。本書不包含任何手繪插圖，每幅插圖全部由作者提供的Visual C 算法生成。

插圖準(zhǔn)確、圖例豐富、立體感強(qiáng)，易于理解，更便于教與學(xué)。

本書的特點(diǎn)是理論與代碼一一對(duì)應(yīng)。代碼方面模塊性強(qiáng)、注釋規(guī)范、容易理解。這些代碼不僅可以從實(shí)踐上印證理論的正確性，也從圖形可視化角度展示理論應(yīng)用的效果。本書附錄部分給出了6個(gè)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目及2個(gè)課程設(shè)計(jì)項(xiàng)目，并給出了猶他茶壺和花瓶的源代碼。讀者可以通過(guò)編程提高對(duì)理論的認(rèn)識(shí)。讀者學(xué)習(xí)本書的先行課程包括高等數(shù)學(xué)、C 程序設(shè)計(jì)等。

本書理論部分由孔令德編寫，上機(jī)實(shí)驗(yàn)及課程設(shè)計(jì)部分由康鳳娥編寫。全書由孔令德提出編寫提綱并統(tǒng)稿、校對(duì)�？跌P娥上機(jī)調(diào)試了全部程序并繪制了插圖。

作者提供計(jì)算幾何算法與實(shí)現(xiàn)QQ群，群號(hào)為229275085。群內(nèi)的共享文件包括與教學(xué)配套的電子課件及相關(guān)的案例源程序等教學(xué)資源，歡迎讀者下載使用。請(qǐng)掃描微信二維碼或通過(guò)QQ（307622194）與作者聯(lián)系。就書中理論和編程方面的問(wèn)題，作者將為讀者提供在線答疑。

本書適合于計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)、數(shù)字媒體技術(shù)專業(yè)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)以及機(jī)械設(shè)計(jì)與制造專業(yè)的本科生與研究生使用。建議本科生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)為Bezier曲線曲面，研究生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)為B樣條與NURBS曲線曲面。

王陽(yáng)明說(shuō)過(guò)：知者行之始，行者知之成，讓我們打開(kāi)計(jì)算機(jī)，開(kāi)始學(xué)習(xí)基于動(dòng)畫的計(jì)算幾何學(xué)，以物體的幾何形狀來(lái)加深對(duì)枯燥數(shù)學(xué)公式的理解吧。

作 者

于太原萬(wàn)達(dá)龍湖廣場(chǎng)

2017 年7 月7 日