本書涵蓋了高等工科院校的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)基本要求》中的全部知識, 對理工科學(xué)生需要掌握的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識進(jìn)行了深入細(xì)致的講解。對于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課程中需要掌握的基本概念、基本定理、基本方法給出了解釋和說明, 力求在循序漸進(jìn)的過程中, 使讀者逐步掌握這門課程的內(nèi)容。
張艷，北京建筑大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事的教學(xué)、科研工作。承擔(dān)本科生課程：高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、線性代數(shù)，研究生課程：矩陣論，漸近分析方法�？蒲兄饕较�?yàn)槠⒎址匠汤碚撆c應(yīng)用。針對生物流體、高分子材料等非牛頓流體的流動(dòng)傳熱現(xiàn)象，結(jié)合數(shù)學(xué)物理分析方法，用非線性偏微分方程描述流體的傳遞擴(kuò)散本質(zhì)，通過對方程解的分析，解釋化工、醫(yī)學(xué)、能源等領(lǐng)域流體力學(xué)熱點(diǎn)問題的本質(zhì)。主持國家自然科學(xué)基金1項(xiàng)，北京市教委科技面上項(xiàng)目1項(xiàng)，北京市中青年骨干人才培養(yǎng)資助項(xiàng)目1項(xiàng)等10余項(xiàng)課題，發(fā)表論文60余篇，主編出版教材6部。北京市高校第五屆青年教師教學(xué)基本功比賽一等獎(jiǎng)、*佳教案獎(jiǎng)、*佳教學(xué)演示獎(jiǎng)，北京市教育創(chuàng)新標(biāo)兵，北京高校優(yōu)秀共產(chǎn)黨員�！癝CI”國際期刊“Discrete Dynamics in Nature and Society”、“International Journal of Heat and Mass Transfer”等審稿人。
第3章多維隨機(jī)變量及其分布第2章主要講述了隨機(jī)變量以及隨機(jī)變量的分布.但在實(shí)際應(yīng)用中面對的情況經(jīng)常是十分復(fù)雜的，除了需要研究一個(gè)隨機(jī)變量外，更多的情況要涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量之間往往存在著一定的聯(lián)系，經(jīng)常需要將它們作為一個(gè)整體來考察.因此，引入多維隨機(jī)變量（有時(shí)也稱為隨機(jī)向量）的概念，并對其分布加以研究很有必要.
本章主要介紹二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布、獨(dú)立性等概念，并分別針對離散型二維隨機(jī)變量和連續(xù)型二維隨機(jī)變量進(jìn)行深入探討，最后介紹幾種常用的兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.
3.1二維隨機(jī)變量〖*1〗一、 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一個(gè)隨機(jī)變量只能描述單個(gè)不確定結(jié)果，在研究實(shí)際問題時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的變量常常是兩個(gè)或兩個(gè)以上，這需要在對每個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行研究以外，還要對它們之間的關(guān)系加以關(guān)注，由此就引出了多維隨機(jī)變量的概念.
定義1設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間S={e}，設(shè)Xi=Xi(e)，i=1,2,…,n，是定義在S上的n個(gè)隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X1,X2,…,Xn)叫做n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量（ndimensional random variable）.
特殊地，當(dāng)n=2時(shí)，(X1,X2)構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量，通常記做(X,Y).本書圍繞二維隨機(jī)變量展開講解，三維及更高維的情況與此類似.
例如，向某個(gè)平面區(qū)域隨機(jī)打點(diǎn)，描述該點(diǎn)的位置，需要兩個(gè)隨機(jī)變量X(e),Y(e)分別表示該隨機(jī)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量.在研究某一地區(qū)成年男子身體狀況時(shí)，每位成年男子的身高X(e)和體重Y(e)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)；考察某一地區(qū)的氣候狀況時(shí)，該地區(qū)每天的日平均氣溫X(e)和日平均濕度Y(e)就構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y).
注意: 必須是針對同一個(gè)樣本點(diǎn)e的X(e)和Y(e)，才能構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量.
對于二維隨機(jī)變量，仍然是通過分布函數(shù)、分布律和概率密度這三個(gè)工具來研究取值規(guī)律的.
與一維隨機(jī)變量類似，首先給出二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義.
定義2設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x，y，稱二元函數(shù)F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}（3.1.1）為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)(joint distribution function).
類似的，可以有n維隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義.
定義3n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)，對于任意實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，稱n元函數(shù)F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}（3.1.2）為隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù).
下面以二維隨機(jī)變量為例，對分布函數(shù)加以深入研究. 如果把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，式（3.1.1）右端可以理解為隨機(jī)點(diǎn)落入平面區(qū)域D={(X,Y)|X≤x,Y≤y}的概率，即以點(diǎn)(x,y)為右上端點(diǎn)的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率.如圖31陰影部分所示.
由此可知，一旦給出了F(x,y)，就可以計(jì)算事件{x1圖32
其次，分布函數(shù)F(x,y)具有如下基本性質(zhì):
(1) 分布函數(shù)F(x,y)是關(guān)于x（或y）的單調(diào)不減函數(shù)，即對于任意固定的y，當(dāng)x1(2) 0≤F(x,y)≤1，且F(－∞,－∞)=limx→－∞
y→－∞F(x,y)=0；
F(+∞,+∞)=limx→+∞
y→+∞F(x,y)=1；
對于任意固定的y，F(xiàn)(－∞,y)=limx→－∞F(x,y)=0；
對于任意固定的x，F(xiàn)(x,－∞)=limy→－∞F(x,y)=0.這四個(gè)式子，可以運(yùn)用分布函數(shù)的幾何意義加以解釋.將圖31中無窮矩形的上邊界向下無限平移（即y→－∞），則“隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在這個(gè)矩形內(nèi)”趨于不可能事件，其概率趨于0，即F(x,－∞)=0.當(dāng)上邊界、右邊界分別向上、向右無限平移，無窮矩形幾乎擴(kuò)展到全平面，則“隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在這個(gè)矩形內(nèi)”趨于必然事件，其概率趨于1，即F(+∞,+∞)=1.
(3) F(x,y)關(guān)于x（或y）右連續(xù)，即
F(x,y)=F(x+0,y)=F(x,y+0)，x∈R,y∈R.
(4) 對任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1（2） 求P{0解（1） 由二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)可知:F(+∞,+∞)=AB+π2C+π2=1；
y∈R,F(－∞,y)=AB－π2C+arctany3=0；
x∈R,F(x,－∞)=AB+arctanx3C－π2=0.由第一個(gè)等式可知A≠0，B+π2≠0，C+π2≠0.而第二個(gè)等式對于任意的實(shí)數(shù)y均成立，
第三個(gè)等式對于任意的實(shí)數(shù)x均成立，由此可知B=π2，C=π2.代入第一個(gè)等式可知A=1π2.即(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=1π2π2+arctanx2π2+arctany3.（2） 由性質(zhì)(4)可知:P{0=1π2π2+π4π2+π2－1π2π2+0π2+π2
－1π2π2+π4π2+π4+1π2π2+0π2+π4
=116.與第2章中對一維隨機(jī)變量的研究一樣，二維隨機(jī)變量也主要研究離散型和連續(xù)型兩類隨機(jī)變量.二、 二維離散型隨機(jī)變量及其分布律
定義4如果二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限對或可列無限對，則稱(X,Y)是二維離散型的隨機(jī)變量.
如果二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)所有可能取值為(xi,yj)，i,j=1,2,…，則稱P{X=xi,Y=yj}=pij，i,j=1,2,…（3.1.4）為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律(joint distribution law).
與一維的情況類似，二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可以用表格表示，如下表所示.X
Yx1x2…xi…y1p11p21 …pi1…y2p12p22 …pi2…yjp1jp2j…pij…
二維隨機(jī)變量(X,Y)具有如下性質(zhì):
(1) pij≥0，i,j=1,2,…；
(2) ∑∞i=1∑∞j=1pij=1.
如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如式（3.1.4）所示，則其分布函數(shù)為F(x,y)=∑xi≤x∑yj≤ypij.（3.1.5）其中，∑xi≤x∑yj≤ypij表示對不大于x的xi和不大于y的yj所對應(yīng)的pij求和.
例2設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1～X中等可能地取一個(gè)整數(shù)值，試求(X,Y)的分布律.
解由乘法公式可得pij=P{X=i,Y=j}.
當(dāng)i當(dāng)i≥j時(shí)，pij=P{Y=jX=i}·P{X=i}=1i×14.
于是(X,Y)的聯(lián)合分布律為X
Y12341141811211620181121160001121160000116
三、 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合概率密度
定義5設(shè)F(x,y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)，使得對任意實(shí)數(shù)x,y都有F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv，（3.1.6）則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度，或X與Y的聯(lián)合概率密度(joint probability density).
二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列性質(zhì):
(1) f(x,y)≥0；
(2） ∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1；
(3) 若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，則有2F(x,y)xy=f(x,y)；(4) 設(shè)D為xOy平面上任一區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落在D中的概率為P{(X,Y)∈D}=Df(x,y)dxdy.在空間解析幾何中，z=f(x,y)表示空間的一個(gè)曲面，由性質(zhì)(2)可知，介于它和xOy平面之間的無限空間立體的體積為1；由性質(zhì)(4)可知，點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域D中的概率等于以D為底，以z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積.
與一維隨機(jī)變量的結(jié)論類似，當(dāng)一個(gè)二元函數(shù)f(x,y)滿足性質(zhì)(1)和性質(zhì)(2)時(shí)，它一定是某個(gè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.
例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=Ae－12(x+y),x≥0,y≥0,
0,其他.求: （1） 常數(shù)A； （2） 分布函數(shù)F(x,y)； （3） P{X+Y≤2}.
解（1）由二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)(2)可知:∫+∞－∞∫+∞－∞f(x,y)dxdy=∫+∞0∫+∞0Ae－12(x+y)dxdy=1. 則A=14，故(X,Y)的概率密度為f(x,y)=14e－12(x+y),x≥0,y≥0,
0,其他.（2） F(x,y)=∫x－∞∫y－∞f(u,v)dudv
=14∫x0∫y0e－12(u+v)dudv,x≥0,y≥0,
0,其他
=(1－e－x2)(1－e－y2),x≥0,y≥0,
0,其他.
……
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