第1章事件與概率

　　自然界和社會上發(fā)生的現(xiàn)象是各式各樣的，有一類現(xiàn)象，在一定條件下必然發(fā)生，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.例如，太陽從東方升起;水在標準大氣壓下溫度達到100℃時必然沸騰;同性電荷相互排斥，異性電荷相互吸引等.在自然界和社會上也存在另一類現(xiàn)象,在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結果，也可能出現(xiàn)那樣的結果，且在試驗或觀察之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn)，這類現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.例如,擲一枚均勻的硬幣，其結果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次拋擲之前無法確定拋擲的結果是什么;又如,在軍訓射擊時，用同一步槍向同一目標射擊，每次彈著點不盡相同，且在每一次射擊之前無法預測彈著點的確切位置.

　　人們經(jīng)過長期的實踐和深入研究后，發(fā)現(xiàn)隨機現(xiàn)象在大量重復試驗或觀察下，結果呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.例如，多次重復擲一枚均勻硬幣得到正面朝上的結果大致有一半;同一步槍射擊同一目標的彈著點按照一定的規(guī)律分布.隨機現(xiàn)象的這種在大量重復試驗或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，我們稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學科學.

　　1.1隨機事件

　　1.1.1隨機試驗

　　人們是通過觀察和試驗來研究隨機現(xiàn)象的，為對隨機現(xiàn)象加以研究所進行的觀察或試驗，稱為試驗.若一個試驗具有下列三個特點：

　　(1)可以在相同的條件下重復地進行；

　　(2)每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果；

　　(3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn)，

　　則稱這一試驗為隨機試驗（randomtrial），通常用E表示.

　　例1.1.1隨機試驗的例子.

　　(1)E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

　　(2)E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

　　(3)E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù).

　　(4)E4：記錄一天內進入某商場的顧客數(shù).

　　(5)E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命.

　　(6)E6：記錄某一地區(qū)一晝夜的最低溫度和最高溫度.

　　1.1.2樣本空間和樣本點

　　對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能確定試驗的結果，但試驗的所有可能結果是已知的，我們將隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間(Space)，記為S.樣本空間的元素，即E的每個結果，稱為樣本點.

　　例1.1.2請給出例1.1.1中隨機試驗的樣本空間.

　　解(1)S1={H,T}；

　　(2)S2={HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}；

　　(3)S3={0,1,2,3}；

　　(4)S4={0,1,2,…}；

　　(5)S5={t|t≥0}；

　　(6)S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},這里x表示最低溫度，y表示最高溫度，并設這一地區(qū)溫度不會小于T0也不會大于T1.

　　需要注意的是：

　　(1)樣本空間中的元素可以是數(shù)，也可以不是數(shù).

　　(2)樣本空間中的元素個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的，但至少含有兩個元素.

　　(3)樣本空間中的元素由試驗目的確定.

　　1.1.3隨機事件

　　一般地，我們稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件，通常用大寫字母A,B,C，…表示.在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生,否則稱事件不發(fā)生.例如，在擲骰子的試驗中，可以用A表示“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”這個事件，若試驗結果是“出現(xiàn)6點”，就稱事件A發(fā)生;若試驗結果是“出現(xiàn)1點”，就稱事件A不發(fā)生.

　　特別地，由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件.例如，在擲骰子的試驗中有六個基本事件{1}，{2}，…，{6}.每次試驗中都必然發(fā)生的事件，稱為必然事件.由于樣本空間S包含所有的樣本點，它是S自身的子集，且在每次試驗中都必然發(fā)生的，故它就是一個必然事件.因而必然事件我們也用S表示.在每次試驗中都不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件.空集�敛话�含任何樣本點，它作為樣本空間的子集，在每次試驗中都不可能發(fā)生，故它就是一個不可能事件.因而不可能事件也用�帘硎�.

　　例1.1.3在擲一顆骰子觀察點數(shù)的試驗中,令事件A表示“出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“出現(xiàn)的點數(shù)小于5”，事件D表示“出現(xiàn)的點數(shù)是不小于3的偶數(shù)”.請寫出隨機試驗的樣本空間及事件包含的樣本點.

　　解S={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4}，D={4,6}.

　　1.1.4事件的關系與運算

　　事件是一個集合，因而事件間的關系與運算自然按照集合論中集合之間的關系和運算來處理.根據(jù)“事件發(fā)生”的含義，給出它們在概率論中的含義.設試驗E的樣本空間為S，而A,B,Ak(k=1,2,…)是S的子集.

　　1.包含關系若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)，記為B�紸(或A�糂)(見圖1.1.1).

　　為了方便起見，規(guī)定對于任一事件A，有�联糀�糞.

　　2.相等關系若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B�紸且A�紹,則稱事件A與事件B相等，記為A=B.

　　3.事件的和事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這一事件稱為事件A與事件B的并(和)，記為A∪B(見圖1.1.2).