第二章 流體靜力學(xué)  本章導(dǎo)讀： 流體靜力學(xué)主要研究流體處于平衡狀態(tài)的規(guī)律及其在實(shí)際中的應(yīng)用。流體的平衡狀態(tài)有兩種：一種是相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，即流體相對(duì)于地球沒(méi)有運(yùn)動(dòng)；另一種是相對(duì)平衡狀態(tài)，即所研究的流體雖然相對(duì)于地球在運(yùn)動(dòng)，但流體相對(duì)于容器或者流體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間卻沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。本章只研究處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的流體。 平衡狀態(tài)下流體質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，流體的黏滯性不起作用，故平衡狀態(tài)下的流體不呈現(xiàn)切應(yīng)力。由于流體幾乎不能承受拉應(yīng)力，所以平衡流體質(zhì)點(diǎn)間的相互作用是通過(guò)壓應(yīng)力(靜壓強(qiáng))形式呈現(xiàn)出來(lái)的。在實(shí)際工程中，流體對(duì)固體壁面產(chǎn)生的“壓效應(yīng)”不容輕視，這類(lèi)力有可能推倒混凝土水壩或使壓力容器爆裂等。 本章主要研究流體在靜止?fàn)顟B(tài)下的力學(xué)規(guī)律，詳細(xì)闡述靜壓強(qiáng)的特性、分布規(guī)律以及作用在平面和曲面上靜水總壓力的計(jì)算方法及其實(shí)際應(yīng)用。 第一節(jié) 流體靜壓強(qiáng)及其特性

       一、流體靜壓強(qiáng)的定義 在靜止流體中取一微元體作隔離體。為保持隔離體仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，需要在隔離體表面上施加外力，以代替其周?chē)�流體對(duì)隔離體的作用，如圖2-1所示�，F(xiàn)用任一平面ABCD將此體積分為Ⅰ、Ⅱ兩部分，假定將Ⅰ部分移去，并以與其等效的力代替它對(duì)Ⅱ部分的作用，顯然，余留部分不會(huì)失去原有的平衡。 圖2-1 靜止流體中隔離體的受力 從平面ABCD上取出一微面積 ，a點(diǎn)是 的幾何中心， 為移去流體作用在 上的作用力，則 稱(chēng)為面積 上的流體靜壓力，作用在 上的平均流體靜壓強(qiáng) 可用下式表示，即 (2-1) 當(dāng) 無(wú)限縮小至點(diǎn)a時(shí)，平均壓強(qiáng) 便趨于某一極限值，此極限值定義為該點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)，通常用符號(hào)p表示，即 (2-2) 壓力的單位為N或kN，壓強(qiáng)的單位為Pa( )或kPa。

        二、流體靜壓強(qiáng)的特性 流體靜壓強(qiáng)具有兩個(gè)重要特性。

       1. 第一特性：流體靜壓強(qiáng)的方向垂直指向被作用面 如圖2-2所示，在靜止流體內(nèi)任取一分界面n—n，n—n面將容器中流體分為上、下兩部分，上部分流體對(duì)n—n面以下流體的作用力屬于表面力。在n—n面上任取一點(diǎn)，假如其所受的流體靜壓強(qiáng)p是任意方向，則p可分解為法向應(yīng)力 與切向應(yīng)力 。顯然，根據(jù)流體的性質(zhì)，在 作用下，流體將失去平衡而流動(dòng)，這與靜止流體的前提不符，故 �？梢�(jiàn)，p必須垂直于過(guò)該點(diǎn)的切平面。又由于流體不能承受拉應(yīng)力，故流體靜壓強(qiáng)p只能為壓應(yīng)力。因此，只有內(nèi)法線(xiàn)方向才是流體靜壓強(qiáng)p的唯一方向，如圖2-3所示。 圖2-2 靜壓強(qiáng)方向分析圖 圖2-3 靜壓強(qiáng)方向?qū)嵗?

        2. 第二特性：作用于同一點(diǎn)上各方向的流體靜壓強(qiáng)大小相等 在證明這一特性之前，先通過(guò)下述例子進(jìn)一步說(shuō)明該特性的含義。如圖2-4所示，當(dāng)A點(diǎn)作為ab面上的點(diǎn)時(shí)，流體靜壓強(qiáng)為 ，作為cd面上的點(diǎn)時(shí)，壓強(qiáng)為 ，根據(jù)第二特性，則 。 茲證明如下。 如圖2-5所示，從平衡流體中分割出一無(wú)限小的四面體OABC，斜面ABC的法線(xiàn)方向?yàn)槿我夥较�，各棱邊長(zhǎng)分別為 �，F(xiàn)以 和 分別表示坐標(biāo)面和斜面ABC上的平均壓強(qiáng)，n為ABC的外法線(xiàn)方向，如果能夠證明，當(dāng)四面體OABC無(wú)限地縮小到O點(diǎn)時(shí)， ，則流體靜壓強(qiáng)的第二特性得到證明。由于微小四面體是從平衡流體中分割出來(lái)的，它在所有外力作用下必處于平衡狀態(tài)。作用于微小四面體上的外力包括兩部分：一部分是四個(gè)表面上的表面力，即周?chē)�流體作用的流體靜壓力；另一部分是質(zhì)量力，在靜止流體中質(zhì)量力只有重力，在相對(duì)平衡流體中質(zhì)量力還包括慣性力。 令 為作用在OBC面上的流體靜壓力； 為作用在OAC面上的流體靜壓力； 為作用在OAB面上的流體靜壓力； 為作用在斜面ABC上的流體靜壓力。 圖2-4 靜壓強(qiáng)第二特性示意圖 圖 2-5 微小四面體所受表面力 令四面體體積為 ，由幾何學(xué)可知， 。假定作用在四面體上的單位質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)方向的投影為X、Y、Z，則總質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)方向的投影為 根據(jù)平衡條件，作用在微小四面體上的外力在各坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零，即 (2-3) 式中，(n，x)、(n，y)、(n，z)分別為斜面ABC的法線(xiàn)n—n與x、y、z軸的交角； 為四面體所具有的密度。 若以 分別表示四面體四個(gè)表面OBC、OAC、OAB、ABC的面積，則 ， ， 。 將式(2-3)中第一式各項(xiàng)同除以 ，并引入 的關(guān)系式，則有 (2-4) 式中， 、 分別表示 、 面上的平均流體靜壓強(qiáng)。 如果讓微小四面體無(wú)限縮小至O點(diǎn)， 以及 均趨于零，對(duì)式(2-4)取極限，則有 對(duì)式(2-3)中第二式與第三式分別除以 ，并做類(lèi)似的處理后同理可得 因斜面ABC的法線(xiàn)方向是任意選取的，所以當(dāng)四面體無(wú)限縮小至O點(diǎn)時(shí)，各個(gè)方向流體靜壓強(qiáng)均相等，即 流體靜壓強(qiáng)的第二特性表明，作為連續(xù)介質(zhì)的平衡流體內(nèi)，任一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，即 ，而與受壓面方位無(wú)關(guān)。 第二節(jié) 重力作用下流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律 前面已經(jīng)說(shuō)明了流體靜壓強(qiáng)的特性，下面推導(dǎo)流體靜力學(xué)的基本方程。

        一、液體靜力學(xué)的基本方程 如圖2-6所示，在均質(zhì)液體中取一豎直柱形隔離體，其水平截面積為 ，頂部壓強(qiáng)為 ，底部壓強(qiáng)為 ，頂部、底部距液面的距離分別為 ， ，距基準(zhǔn)面的距離分別為 ，液面壓強(qiáng)用 表示。 圖2-6 圓柱隔離體的受力 下面分析其受力情況。在重力作用下，水平方向沒(méi)有質(zhì)量力，所有水平方向表面力的合力等于零。在豎直方向，頂面壓力等于 ，方向向下，底面的壓力等于 ，方向向上，質(zhì)量力是重力 ，或表示為 ，方向向下。各力處于平衡狀態(tài)，則有 或 整理得 (2-5) 或 (2-6a) 上式表明，靜止液體中任意兩點(diǎn)的 值相等，也就是說(shuō)靜止液體中各點(diǎn)的 等于常數(shù)，即 (2-6b) 如果在式(2-5)中取 ，即柱體的頂面與液面重合，那么位于液面以下深度為h處的壓強(qiáng)為 (2-7) 式(2-6)、式(2-7)是重力作用下液體靜力學(xué)基本方程的兩種表達(dá)式。 式(2-6)表明，當(dāng) 時(shí)，則 ，即位置較低點(diǎn)的壓強(qiáng)恒大于位置較高點(diǎn)的壓強(qiáng)。式(2-6)適用于靜止的、連續(xù)的、質(zhì)量力只有重力的同一種均質(zhì)液體。 式(2-7)說(shuō)明，靜止液體中壓強(qiáng)隨深度按線(xiàn)性規(guī)律增加，且液體內(nèi)任一點(diǎn)的壓強(qiáng)p等于液面上的壓強(qiáng) 與從該點(diǎn)至液面的單位面積上的垂直液柱重量 之和。液面壓強(qiáng) 的變化可以等值地傳遞到液體的其他各點(diǎn)，這就是帕斯卡定律。 若液面暴露在大氣中，其上作用著大氣壓強(qiáng)pa，作用著大氣壓強(qiáng)的液面常稱(chēng)作自由液面，此時(shí)式(2-7)可表示為 。

        大氣壓強(qiáng)一般是隨海拔高程及氣溫的變化而變化的。在工程技術(shù)中，常用工程大氣壓表示壓強(qiáng)，1個(gè)工程大氣壓(1atm)相當(dāng)于736mm水銀柱對(duì)柱底產(chǎn)生的壓強(qiáng)。在工程計(jì)算中，如無(wú)特殊說(shuō)明，可將大氣壓強(qiáng)看作常量，取 pa=1atm(1個(gè)工程大氣壓)= 二、等壓面 由式(2-7)可以看出，液面下深度h相等的各點(diǎn)壓強(qiáng)相等。壓強(qiáng)相等的各點(diǎn)組成的面稱(chēng)作等壓面。例如，自由液面以及處于平衡狀態(tài)下的兩種液體的交界面都是等壓面。對(duì)于重力作用下的靜止液體，液面是和重力方向垂直的水平面，因?yàn)槿绻�不和重力方向垂直的�?huà)，沿液面就有一個(gè)切向分力，液體就要移動(dòng)，和靜止這個(gè)前提不符(嚴(yán)格來(lái)講，和重力方向垂直的面是近似和地球面同心的球面，不過(guò)就工程流體力學(xué)的實(shí)用范圍來(lái)講，完全可以看作是水平面)。由此可見(jiàn)，重力作用下靜止液體的等壓面都是水平面。但必須注意，這一結(jié)論只適用于質(zhì)量力只有重力的同一種連續(xù)介質(zhì)。對(duì)于不連續(xù)的介質(zhì)，或者一個(gè)水平面穿過(guò)了兩種不同介質(zhì)，如圖2-7(b)、(c)所示，則位于同一水平面上各點(diǎn)的壓強(qiáng)并不一定相等。 (a) 同種連通液體 (b) 同種非連通液體 (c) 連通非同種液體 圖2-7 等壓面示意圖  綜上所述，在同一種連續(xù)的靜止液體中，水平面是等壓面。