EliasM.Stein、RamiShakarchi所著的《復(fù)分析》由在國際上享有盛譽(yù)普林斯大林頓大學(xué)教授Stein等撰寫而成，是一部為數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)大學(xué)二年級(jí)和三年級(jí)學(xué)生編寫的教材，理論與實(shí)踐并重。為了便于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)，全書內(nèi)容簡(jiǎn)明、易懂,讀者只需掌握微積分和線性代數(shù)知識(shí)。本書已被哈佛大學(xué)和加利福尼亞理工學(xué)院選為教材。
從２０００ 年春季開始， 四個(gè)學(xué)斯的系列課程在普林斯頓大學(xué)講授， 其目的是用統(tǒng)一的方法去展現(xiàn)分析學(xué)的核心內(nèi)容． 我們的目的不僅是為了生動(dòng)說明存在于分析學(xué)各個(gè)部分之間的有機(jī)統(tǒng)一， 還是為了闡述這門學(xué)科的方法在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域和其他自然科學(xué)的廣泛應(yīng)用． 本書是對(duì)講稿的一個(gè)詳細(xì)闡述．雖然有許多優(yōu)秀教材涉及我們覆蓋的單個(gè)部分， 但是我們的目標(biāo)不同： 不是以單個(gè)學(xué)科， 而是以高度的互相聯(lián)系來展示分析學(xué)的各種不同的子領(lǐng)域． 總的來說，我們的觀點(diǎn)是觀察到的這些聯(lián)系以及所產(chǎn)生的協(xié)同效應(yīng)將激發(fā)讀者更好地理解這門學(xué)科． 記住這點(diǎn)， 我們專注于形成該學(xué)科的主要方法和定理（有時(shí)會(huì)忽略掉更為系統(tǒng)的方法）， 并嚴(yán)格按照該學(xué)科發(fā)展的邏輯順序進(jìn)行．我們將分析學(xué)的內(nèi)容分成四冊(cè)， 每一冊(cè)反映一個(gè)學(xué)期所包含的內(nèi)容， 這四冊(cè)的書名如下：
�、瘛�。 傅里葉分析導(dǎo)論．Ⅱ。。 復(fù)分析．Ⅲ。。 實(shí)分析： 測(cè)度論、積分以及希爾伯特空間．Ⅳ。。 泛涵分析： 分析中的幾個(gè)論題．但是這個(gè)列表既沒有完全給出分析學(xué)所展現(xiàn)的許多內(nèi)部聯(lián)系， 也沒有完全呈現(xiàn)出分析學(xué)在其他數(shù)學(xué)分支中的顯著應(yīng)用． 下面給出幾個(gè)例子： 第一冊(cè)中所研究的初等（有限的） Ｆｏｕｒｉｅｒ 級(jí)數(shù)引出了Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ 特征， 并由此使用等差數(shù)列得到素?cái)?shù)有無窮多個(gè)； Ｘ。射線和Ｒａｄｏｎ 變換出現(xiàn)在第一冊(cè)的許多問題中， 并且在第三冊(cè)中對(duì)理解二維和三維的Ｂｅｓｉｃｏｖｉｔｃｈ 型集合起著重要作用； Ｆａｔｏｕ 定理斷言單位圓盤上的有界解析函數(shù)的邊界值存在， 并且其證明依賴于前三冊(cè)書中所形成的方法； 在第一冊(cè)中， θ 函數(shù)首次出現(xiàn)在熱方程的解中， 接著第二冊(cè)使用θ 函數(shù)找到一個(gè)整數(shù)能表示成兩個(gè)或四個(gè)數(shù)的平方和的個(gè)數(shù)， 并且考慮ζ 函數(shù)的解析延拓．對(duì)于這些書以及這門課程還有幾何額外的話． 一學(xué)期使用４８ 個(gè)課時(shí)， 在很緊湊的時(shí)間內(nèi)結(jié)束這些課程， 每周習(xí)題具有不可或缺的作用， 因此， 練習(xí)和問題在我們的書中有同樣重要的作用． 每個(gè)章節(jié)后面都有一系列“ 練習(xí)”， 有些習(xí)題簡(jiǎn)單，而有些則可能需要更多的努力才能完成． 為此， 我們給出了大量有用的提示來幫助讀者完成大多數(shù)的習(xí)題． 此外， 也有許多更復(fù)雜和富于挑戰(zhàn)的“問題”， 特別是用星號(hào)標(biāo)記的問題是最難的或者超出了正文的內(nèi)容范圍．盡管不同的分冊(cè)之間存在大量的聯(lián)系， 但是我們還是提供了足夠的重復(fù)內(nèi)容，以便只需要前三本書的極少的預(yù)備知識(shí)： 只需要熟悉分析學(xué)中初等知識(shí)， 例如極前言Ⅴ 限、極數(shù)、可微函數(shù)和Ｒｉｅｍａｎｎ 積分， 還需要一些有關(guān)線性代數(shù)的知識(shí)． 這使得對(duì)不同學(xué)科（如數(shù)學(xué)、物理、工程和金融） 感興趣的本科生和研究生都易于理解本系列叢書．我們懷著無比喜悅的心情對(duì)所有幫助本系列叢書出版的人員表示感謝． 我們特別感謝參與這四門課程的學(xué)生． 他們持續(xù)的興趣、熱情和奉獻(xiàn)精神所帶來的鼓勵(lì)促使我們有可能完成這項(xiàng)工作． 我們也要感謝Ａｄｒｉａｎ Ｂａｎｎｅｒ 和Ｊｏｓｅ Ｌｕｉｓ Ｒｏｄｒｉｇｏ， 因?yàn)樗麄冊(cè)谥v授本系列叢書時(shí)給予了特殊幫助并且努力查看每個(gè)班級(jí)的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況． 此外， Ａｄｒｉａｎ Ｂａｎｎｅｒ 也對(duì)正文提出了寶貴的建議．我們還特別感謝以下幾個(gè)人： Ｃｈａｒｌｅｓ Ｆｅｆｆｅｒｍａｎ， 他講授第一周的課程（成攻地開啟了這項(xiàng)工作的大門）； Ｐａｕｌ Ｈａｇｅｌｓｔｅｉｎ， 他除了閱讀一門課程的部分手稿， 還接管了本系列叢書的第二輪教學(xué)工作； Ｄａｎｉｅｌ Ｌｅｖｉｎｅ， 他在校對(duì)過程中提供了有價(jià)值的幫助． 最后， 我們同樣感謝Ｇｅｒｒｅｅ Ｐｅｃｈｔ， 因?yàn)樗苁炀毜剡M(jìn)行排版并且花了時(shí)間和精力為這些課程做準(zhǔn)備工作， 諸如幻燈片、筆記和手稿．我們還要感謝普林斯頓大學(xué)的２５０ 周年紀(jì)念基金和美國國家科學(xué)基金會(huì)的ＶＩ。ＧＲＥ 項(xiàng)目的資金支持．伊萊亞斯Ｍ。。 斯坦恩拉米·沙卡什于普林斯頓２００２ 年８ 月
譯者的話這是我翻譯的第一本書， 而本書的難度又特別高， 所以， 對(duì)我來說真是一個(gè)挑戰(zhàn)． 還好有幾位朋友相助， 幫我校正譯稿， 為本書增色不少． 其中最感謝的是夏愛生， 他在忙碌的全職工作之余， 特別抽空為我校稿， 我從他專業(yè)的翻譯過程中學(xué)到了不少技巧．本書如果在翻譯上還有未盡人意之處， 那是本人的疏忽， 歡迎各界朋友不吝賜教． 為了讓大家能夠更加理解原書的本意， 我在此列舉出一些翻譯時(shí)我斟酌再三而定的翻譯方式， 可能在別的書中翻譯會(huì)不一樣， 所以把原文也列出來供大家參考．ｔｏｙ ｃｏｎｔｏｕｒ， 英文直譯是“玩具， 周線”， 本書中有時(shí)沒有出現(xiàn)ｔｏｙ 而只是ｃｏｎ。ｔｏｕｒ， 我都翻譯成“周線”， 是指曲線積分的封閉曲線．ｋｅｙｈｏｌｅ， 英文直譯是“ 鎖眼”， 在本書中是一種曲線的類型， 如ｔｈｅ ｋｅｙｈｏｌｅｃｏｎｔｏｕｒ， 因?yàn)橹芫�形似鎖眼， 所以我翻譯成“鎖眼周線”， 再如ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｋｅｙｈｏｌｅ和Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ ｋｅｙｈｏｌｅ， 我分別翻譯成“多鎖眼” 和“矩形鎖眼”．ｍｏｄｅｒａｔｅ ｄｅｃｒｅａｓｅ， 英文直譯是“適當(dāng)?shù)販p少”， 在本書中我翻譯成“ 微減”，表示函數(shù)較慢的遞減速度， 它的具體意思在原書的１１２ 頁腳注中給出．本書第９ 章最后出現(xiàn)的“ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ ｓｅｒｉｅｓ” 是第１０ 章中用于證明四平方定理的重要方法． 我翻譯成“禁止Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級(jí)數(shù)”， ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ， 英文直譯就是“嚴(yán)禁的或禁止的”， 查閱了一些參考資料還是不知道該如何翻譯， 所以只好直譯．最后， 特別感謝李升老師、陳寶琴老師對(duì)本書的修改意見， 由于我們水平有限， 譯文錯(cuò)誤及不妥之處再次懇請(qǐng)讀者指正．劉真真
目 錄
譯者的話
前言
引言
第１ 章 復(fù)分析預(yù)備知識(shí) １
１ 復(fù)數(shù)和復(fù)平面 １
１. １ 基本性質(zhì) １
１. ２ 收斂性 ３
１. ３ 復(fù)平面中的集合 ４
２ 定義在復(fù)平面上的函數(shù) ５
２. １ 連續(xù)函數(shù) ５
２. ２ 全純函數(shù) ６
２. ３ 冪級(jí)數(shù) １０
３ 沿曲線的積分 １３
４ 練習(xí) １７
第２ 章 柯西定理及其應(yīng)用 ２３
１ Ｇｏｕｒｓａｔ 定理 ２４
２ 局部原函數(shù)的存在和圓盤內(nèi)的柯西定理 ２６
３ 一些積分估值 ２９
４ 柯西積分公式 ３２
５ 應(yīng)用 ３７
５. １ Ｍｏｒｅｒａ 定理 ３７
５. ２ 全純函數(shù)列 ３７
５. ３ 按照積分定義全純函數(shù) ３９
５. ４ Ｓｃｈｗａｒｚ 反射原理 ４０
５. ５ Ｒｕｎｇｅ 近似定理 ４２
６ 練習(xí) ４４
７ 問題 ４７
第３ 章 亞純函數(shù)和對(duì)數(shù) ５０
１ 零點(diǎn)和極點(diǎn) ５１
２ 留數(shù)公式 ５４
２. １ 例子 ５５
３ 奇異性與亞純函數(shù) ５８
４ 輻角原理與應(yīng)用 ６２
５ 同倫和單連通區(qū)域 ６５
６ 復(fù)對(duì)數(shù) ６８
７ 傅里葉級(jí)數(shù)和調(diào)和函數(shù) ７０
８ 練習(xí) ７２
９ 問題 ７５
第４ 章 傅里葉變換 ７８
１ Ｆ 類 ７９
２ 作用在 Ｆ 類上的傅里葉變換 ８０
３ Ｐａｌｅｙ.Ｗｉｅｎｅｒ 定理 ８５
４ 練習(xí) ９０
５ 問題 ９４
第５ 章 整函數(shù) ９６
１ Ｊｅｎｓｅｎ 公式 ９７
２ 有限階函數(shù) ９９
３ 無窮乘積 １０１
３. １ 一般性 １０１
３. ２ 例子 正弦函數(shù)的乘積公式 １０２
４ Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ 無窮乘積 １０４
５ Ｈａｄａｍａｒｄ 因子分解定理 １０６
６ 練習(xí) １１０
７ 問題 １１３
第６ 章 Ｇａｍｍａ 函數(shù)和 Ｚｅｔａ 函數(shù) １１５
１ Ｇａｍｍａ 函數(shù) １１５
１. １ 解析延拓 １１６
１. ２ Γ 函數(shù)的性質(zhì) １１８
２ Ｚｅｔａ 函數(shù) １２２
２. １ 泛函方程和解析延拓 １２２
３ 練習(xí) １２７
４ 問題 １３１
第７ 章 Ｚｅｔａ 函數(shù)和素?cái)?shù)定理 １３３
１ Ｚｅｔａ 函數(shù)的零點(diǎn) １３４
１. １ １／ ζ（ｓ）的估計(jì) １３７
２ 函數(shù) ψ 和 ψ１ 的簡(jiǎn)化 １３８
２. １ ψ１ 的漸近證明 １４２
３ 練習(xí) １４６
４ 問題 １４９
第８ 章 共形映射 １５１
１ 共形等價(jià)和舉例 １５２
１. １ 圓盤和上半平面 １５３
１. ２ 進(jìn)一步舉例 １５４
１. ３ 帶形區(qū)域中的 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ 問題 １５６
２ Ｓｃｈｗａｒｚ 引理 圓盤和上半平面的自同構(gòu) １６０
２. １ 圓盤內(nèi)的自同構(gòu) １６１
２. ２ 上半平面的自同構(gòu) １６３
３ 黎曼映射定理 １６４
３. １ 必要條件和定理的陳述 １６４
３. ２ Ｍｏｎｔｅｌ 定理 １６５
３. ３ 黎曼映射定理的證明 １６７
４ 共形映射到多邊形上 １６９
４. １ 一些例子 １６９
４. ２ Ｓｃｈｗａｒｚ.Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ 積分 １７２
４. ３ 邊界表現(xiàn) １７４
４. ４ 映射公式 １７７
４. ５ 返回橢圓積分 １８０
５ 練習(xí) １８１
６ 問題 １８７
第９ 章 橢圓函數(shù)介紹 １９２
１ 橢圓函數(shù) １９３
１. １ Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 定理 １９４
１. ２ Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ 函數(shù) １９６
２ 橢圓函數(shù)的模特征和 Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級(jí)數(shù) ２００
２. １ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級(jí)數(shù) ２０１
２. ２ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ 級(jí)數(shù)和除數(shù)函數(shù) ２０３
３ 練習(xí) ２０５
４ 問題 ２０７
第１０ 章 Ｔｈｅｔａ 函數(shù)的應(yīng)用 ２０９
１ Ｊａｃｏｂｉ Ｔｈｅｔａ 函數(shù)的乘積公式 ２０９
１. １ 進(jìn)一步的變換法則 ２１４
２ 母函數(shù) ２１６
３ 平方和定理 ２１８
３. １ 二平方定理 ２１９
３. ２ 四平方定理 ２２４
４ 練習(xí) ２２８
５ 問題 ２３２
附錄 Ａ 漸近 ２３６
１ Ｂｅｓｓｅｌ 函數(shù) ２３７
２ Ｌａｐｌａｃｅ 方法 Ｓｔｉｒｌｉｎｇ 公式 ２３９
３ Ａｉｒｙ 函數(shù) ２４３
４ 分割函數(shù) ２４７
５ 問題 ２５３
附錄 Ｂ 單連通和 Ｊｏｒｄａｎ 曲線定理 ２５６
１ 單連通的等價(jià)公式 ２５７
２ Ｊｏｒｄａｎ 曲線定理 ２６１
２. １ 柯西定理的一般形式的證明 ２６８
注釋和參考書目 ２７０
參考文獻(xiàn) ２７３
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