第3章空 間 力 系    第  3  章  空 間 力 系       當(dāng)物體所受的力，其作用線不在同一平面，而呈空間分布時(shí)，稱為空間力系。在工程實(shí)際中，有許多問題都屬于這種情況。如圖3��1所示的車床主軸，分別受到切削力Fx、Fy、Fz和齒輪上的圓周力Fτ、徑向力Fn以及軸承A、B處的約束反力等力的作用，這些力構(gòu)成一組空間力系。    圖3��1     與平面力系一樣，空間力系可分為空間匯交力系、空間平行力系及空間任意力系的情況。   本章主要討論空間力系的簡化和平衡問題。    3��1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影    在平面力系中，常將作用于物體上某點(diǎn)的力向坐標(biāo)軸x、y上投影。同理，在空間力系中，也可以將作用于空間某一點(diǎn)的力向坐標(biāo)軸x、y、z上投影，其具體方法如下。   一、 直接投影法   若力F的作用線與x、y、z軸對應(yīng)的夾角已經(jīng)給定，如圖3��2(a)所示，則可直接將力F向三個(gè)坐標(biāo)軸投影，得：    圖3��2      Fx=Fcosα  Fy=Fcosβ  Fz=Fcosγ（3��1）   其中，α、β、γ分別為力F與x、y、z三坐標(biāo)軸間的夾角。    二、 二次投影法   當(dāng)力F與坐標(biāo)軸x、y間的夾角不易確定時(shí)，可先將力F投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得到力Fxy，進(jìn)一步再將Fxy向x、y軸上投影。如圖3��2(b)所示。若γ為力F與z軸間的夾角，φ為Fxy與x軸間的夾角，則力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為:    Fx=Fsinγcosφ  Fy=Fsinγsinφ  Fz=Fcosγ（3��2）   具體計(jì)算時(shí)，可根據(jù)問題的實(shí)際情況選擇一種適當(dāng)?shù)耐队胺椒āＡεc它在坐標(biāo)軸上的投影是一一對應(yīng)的，如果力F的大小、方向是已知的，則它在選定的坐標(biāo)系的三個(gè)軸上的投影是確定的；反過來，如果已知力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz的值，則力F的大小與方向也就被唯一地確定了，它的大小為:   F=F2x+F2y+F2z（3��3a）   其方向余弦為:    cosα=FxF2x+F2y+F2z  cosβ=FyF2x+F2y+F2z  cosγ=FzF2x+F2y+F2z（3��3b）    3��2力對軸的矩和力對點(diǎn)的矩    一、 力對軸的矩   力使物體繞某一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其效應(yīng)通常以此力對該軸的矩來度量，稱為力對軸的矩。    圖3��3    實(shí)踐證明，力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，不僅與力的大小和方向有關(guān)，而且與力的作用面的方位有關(guān)。以圖3��3所示的推門的情形為例，若推力的作用線與門的轉(zhuǎn)動(dòng)軸平行(如F1)，或者與門的轉(zhuǎn)動(dòng)軸相交(F2)，則無論推力多大，都不能使門繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸z轉(zhuǎn)動(dòng)。事實(shí)上，只要力作用在門所在的平面內(nèi)，門就不會轉(zhuǎn)動(dòng)。由此得出結(jié)論：與轉(zhuǎn)軸平行或者與其相交的力都不能使物體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)�；蛘哒f，當(dāng)力的作用線與旋轉(zhuǎn)軸共面時(shí)，則不可能使物體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)。   但是，如果力F垂直于門且不通過轉(zhuǎn)動(dòng)軸時(shí)，就能使門轉(zhuǎn)動(dòng)。而且這個(gè)力越大，或者其作用線與轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離越遠(yuǎn)，這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就越顯著。因此，可以用力F的大小與上述距離的乘積來度量力F對剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，再用不同的正負(fù)號來區(qū)別不同的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，此即力對軸的矩的概念。    圖3��4    在一般情況下，對于作用線不與z軸共面的力F，可以按下述方法來計(jì)算它對z軸的矩。如圖3��4所示，將力F分解為兩個(gè)分力F′和F″，力F′平行于z軸，力F′位于通過力F的作用點(diǎn)A且與z軸垂直的平面E內(nèi)。由于分力F″與z軸平行，故對z軸無轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。于是力F對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，完全由分力F′決定。因此，力對軸的矩為力在垂直于該軸的平面上的分力對于該軸與平面交點(diǎn)之矩。力F對z軸的矩，定義如下：   Mz（F）=MO（F′）=±F′d（3��4）   式中:O點(diǎn)為平面E與z軸的交點(diǎn)；d為O點(diǎn)到力F′作用線的距離。   式(3��4)中正負(fù)號規(guī)定如下：從z軸的正向看去，力使剛體逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩為正，反之為負(fù)�；蛘哂糜沂致菪�法則來判定：若以右手四個(gè)手指彎曲的指向表示力F′繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，則拇指的指向與z軸的正向相同者為正，反之為負(fù)。力對軸的矩是一個(gè)代數(shù)量，其單位是牛頓·米 （N·m）。   從力對軸的矩的定義可知以得出以下結(jié)論。   （1） 當(dāng)力與軸平行時(shí)（F′=0）或力作用線與軸相交時(shí) （d=0），力對軸的矩均為零。   （2） 當(dāng)力沿其作用線移動(dòng)時(shí)，力對軸的矩不變。這是因?yàn)榇藭r(shí)F′及d均未改變。   合力矩定理空間力系的合力對某一軸的矩，等于各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。   設(shè)有空間一般力系（F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n），其合力為FR，則合力矩定理為：   Mz（FR）=Mz（F1）+Mz（F2）+…+Mz（Fn）  =∑MZ（F）（3��5）   定理證明略。   在許多實(shí)際問題中，直接根據(jù)力對軸之矩的定義，由力在垂直于軸的平面上的投影計(jì)算力對軸的矩，往往很不方便。因此常利用力在直角坐標(biāo)軸上的投影及其作用點(diǎn)的坐標(biāo)來計(jì)算力對某一軸的矩。    圖3��5    設(shè)有一力F，其作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x、y、z），如圖3��5所示。為求力F對z軸的矩，可將力F向（x、y、z）三個(gè)坐標(biāo)軸上投影，分別記為Fx、Fy、Fz，而F′為力F在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)的分力。根據(jù)力對軸的矩的定義，F(xiàn)對于z軸的矩等于F′對于O點(diǎn)的矩，即Mz（F）=MO （F′）,而根據(jù)平面力系的知識及合力矩定理，有MO（F′）=xFy-yFx，于是有：    Mz（F′）=xFy-yFx   同理，可計(jì)算力F對x軸及對y軸的矩。因此，力F對x、y、z軸的矩分別為:    MxF=yFz-zFy  MyF=zFx-xFz  MzF=xFy-yFx（3��6）   式（3��6）即為力對軸的矩的解析表達(dá)式。應(yīng)注意式中力F的投影Fx、Fy、Fx和力F的作用點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z都是代數(shù)量。    圖3��6          【例3��1】托架固連在軸上，載荷F=500 N，方向如圖3��6(a)所示，求力F對直角坐標(biāo)系各軸的矩(圖3��6中長度單位為cm)。    

         【解】（1） 求方向余弦，由圖3��6(b)可得：   cosα=112+32+52=15.92   cosβ=35.92,cosγ=55.92   （2） 計(jì)算力F在各坐標(biāo)軸上的投影如下。   Fx=Fcosα=500×15.92 N=84.5 N   Fy=Fcosβ=500×35.92 N=253 N   Fz=Fcosγ=500×55.92 N=422 N   （3） 計(jì)算力F對各坐標(biāo)軸的矩。力F作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為：   x=-15 cm,y=-12 cm,z=0   因此，利用式（3��6）求得力F對各坐標(biāo)軸的矩為:   MxF=yFz-zFy   =0.12×422-0×253N·m   =50.6 N·m   MyF  =zFx-xFz=0×84.5+0.15×422 N·m   =63.3 N·m   Mz （F′）=x Fy-yFx=［（-0.15）×253-0.12×84.5］ N·m   =-48.1 N·m