本書是按照教育部制定的“全國(guó)碩士研究生招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱”編寫的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)教材,全書共分三部分.第一部分:高等數(shù)學(xué);第二部分:線性代數(shù);第三部分:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).書末附有最近兩年的考研真題及參考答案.
本書按內(nèi)容分塊,每一塊為一講,在每講中先講基本理論,再講典型例題,在每講的后面配備了類型全面的習(xí)題,用以檢查讀者掌握知識(shí)的程度.
本書內(nèi)容豐富適當(dāng),解題方法典型,習(xí)題全面新穎,適合于理工類和經(jīng)管類所有準(zhǔn)備參加碩士研究生招生考試的考生復(fù)習(xí)之用.
本書是經(jīng)典數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)教材,按照教育部制定的“全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱”的要求年年更新?偟11版。作者為吉林大學(xué)教授,資深考研培訓(xùn)教師,具有20年考研輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn),對(duì)考試重點(diǎn)、難點(diǎn)和命題規(guī)律把握準(zhǔn)確。本書內(nèi)容豐富適當(dāng),解題方法典型,還有許多獨(dú)到的解題方法和技巧,習(xí)題全面新穎,附有*新兩年的考研真題。此書以其*性、嚴(yán)謹(jǐn)性、全面性和實(shí)用性,給廣大考生復(fù)習(xí)和備考提供了方便,贏得了廣大考生的歡迎和信賴。
本書是為迎接全國(guó)碩士研究生招生考試而編寫的數(shù)學(xué)強(qiáng)化輔導(dǎo)教材.我們注意到,在準(zhǔn)備考研的考生中,大家共同感到數(shù)學(xué)(包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))是比較難復(fù)習(xí)的科目.從2003年起,教育部對(duì)碩士研究生招生考試進(jìn)行了改革,考試科目數(shù)減少到4科,數(shù)學(xué)卷面總分為150分,加重了數(shù)學(xué)在研究生招生考試中(理工、經(jīng)管類專業(yè))的分量.因此,如何進(jìn)行數(shù)學(xué)課程的復(fù)習(xí)成了所有考生十分關(guān)心的問(wèn)題.為了幫助廣大考生能在研究生招生考試中得到理想的分?jǐn)?shù),實(shí)現(xiàn)自己的夢(mèng)想,我們編寫了此書.
為了使讀者獲得良好的復(fù)習(xí)效果,我們?cè)诰帉懼胸瀼亓巳缦轮笇?dǎo)思想:
1.嚴(yán)格按照教育部制定的“全國(guó)碩士研究生招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試大綱”的要求編寫.
2.力爭(zhēng)做到跟蹤命題走向,抓住出題者心理,研究考題思路,貼近考研題型.通過(guò)對(duì)輔導(dǎo)教材的學(xué)習(xí),使考生達(dá)到事半功倍的效果.
根據(jù)上述指導(dǎo)思想編寫的本書具有如下特色:
1.本書融進(jìn)了多年考研輔導(dǎo)班授課教師的授課經(jīng)驗(yàn)和積累的豐富材料;
2.本書通過(guò)對(duì)研究生招生考試知識(shí)點(diǎn)的精選總結(jié)和典型例題的深入分析,突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想、方法和技巧,使考生不但通過(guò)復(fù)習(xí)能夠熟悉試題的類型,更能掌握解決問(wèn)題的方法;
3.本書深入地分析了歷年來(lái)研究生招生考試數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn),從試題內(nèi)容的分類和解決方法上進(jìn)行了認(rèn)真的研究,使得本書適合理工類和經(jīng)管類的所有考生;
4.本書在典型例題的編寫中,對(duì)歷年研究生招生考試數(shù)學(xué)試題都在例題的右上角用①②③做了標(biāo)注,用以表示是歷年研究生招生考試數(shù)學(xué)一、二、三試卷中的試題;
5.書末附有兩套最近兩年的考研真題及參考答案,有利于考生對(duì)最新考試情況的了解.
參加本書編寫的教師有白巖(高等數(shù)學(xué))、陳殿友(線性代數(shù))、高彥偉(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)).清華大學(xué)出版社對(duì)本教材的編輯和出版工作給予了大力支持,在此表示感謝.
由于時(shí)間比較倉(cāng)促,書中的疏漏和不妥,敬請(qǐng)讀者不吝賜教.
編者
2017年2月
第一部分高等數(shù)學(xué)
第一講函數(shù)、極限與連續(xù)
第一部分高等數(shù)學(xué)
根據(jù)工學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)各學(xué)科和專業(yè)對(duì)碩士研究生招生所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)知識(shí)
和能力的要求,我國(guó)碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷分為數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)三.高等數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二和數(shù)學(xué)三的考試科目之一.在數(shù)學(xué)一試卷中高等數(shù)學(xué)內(nèi)容約占56%,在數(shù)學(xué)二試卷中高等數(shù)學(xué)內(nèi)容約占78%,在數(shù)學(xué)三試卷中高等數(shù)學(xué)內(nèi)容約占56%.
第一講函數(shù)、極限與連續(xù)
本講要點(diǎn):
1.函數(shù)的概念及函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性;
2.反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、初等函數(shù);
3.極限的概念、無(wú)窮小和無(wú)窮大;
4.極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則;
5.極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限;
6.無(wú)窮小的比較;
7.洛必達(dá)法則;
8.函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn);
9.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性;
10.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).
一、主要內(nèi)容
1極限
1)極限的定義
(1)數(shù)列極限limn→∞xn=aε>0,N∈N+,當(dāng)n>N時(shí),有|xn-a|<ε.
(2)函數(shù)極限
limx→x0f(x)=Aε>0,δ>0,當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí),有
|f(x)-A|<ε.
limx→∞f(x)=Aε>0,X>0,當(dāng)|x|>X時(shí),有|f(x)-A|<
ε.
仔細(xì)區(qū)分,又有f(x+0)=limx→x+0f(x)=A,f(x-0)=lim
x→x-0f(x)=A,limx→+∞f(x)=A,limx→-∞f(x)=A等.
(3)重要關(guān)系
limn→∞xn=alimn→∞x2n
=limn→∞x2n-1=a.
limx→x0f(x)=Alimx→x+0f(x
)=limx→x-0f(x)=A.
limx→∞f(x)=Alimx→+∞f(x)=
limx→-∞f(x)=A.
(4)海涅(Heine)定理limx→x0f(x)=A對(duì)滿足
limn→∞xn=x0,xn≠x0的任何{xn},都有l(wèi)imn→∞f(xn)=A.
2)極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則
(1)有界性若{xn}收斂,則{xn}有界.
若limf(x)=A,則存在U。,在U。內(nèi)f(x)有界(對(duì)于x→x0,
U。表示0<|x-x0|<
δ;對(duì)于x→∞,U。表示|x|>X).
(2)保號(hào)性若limf(x)=A>B,則存在U。,在
U。內(nèi)f(x)>B.
推論若存在
U。,在
U。內(nèi)f(x)≥B,且limf(x)=A,則A≥B.
(3)極限的四則運(yùn)算法則設(shè)limf(x)=A,limg(x)=B,則
lim[f(x)±g(x)]=A±B;lim[f(x)g(x)]=AB;limf(x)g(x)=AB(B≠0).
設(shè)limf(x)存在,limg(x)不存在,則lim[f(x)±g(x)]不存
在.
(4)復(fù)合函數(shù)的極限設(shè)limx→x0φ(x)=u0,limu→u0f(u)=A,且δ>0,當(dāng)x∈U。(x0,δ)時(shí),φ(x)≠u0,則
limx→x0f[φ(x)]u=φ(x)limu→u
0f(u)=A(稱為變量代換法).
3)極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則、重要極限
(1)單調(diào)有界原理若數(shù)列{xn}單調(diào)增加(減少)且有上界M(下界m),則{xn}收斂
,且limn→∞xn≤M(≥m).
(2)夾逼準(zhǔn)則設(shè)三個(gè)數(shù)列滿足un≤xn≤vn,且limn→∞un=
limn→∞vn=a,則limn→∞xn=a.
夾逼準(zhǔn)則對(duì)于函數(shù)極限也成立.
(3)重要極限
limx→0sinxx=1,
limx→0(1+x)1x=e,
limx→∞1+1xx=e,
limn→∞1+1nn=e.
2無(wú)窮小和無(wú)窮大(以x→x0為例)
1)無(wú)窮小和無(wú)窮大的定義
(1)無(wú)窮小若limx→x0f(x)=0,稱f(x)為x→x0時(shí)的無(wú)窮小.
(2)無(wú)窮大limx→x0f(x)=∞M>0,δ>0,當(dāng)0<|x-x0|
。鸡臅r(shí),有|f(x)|≥M.
仔細(xì)區(qū)分,又有l(wèi)imx→x0f(x)=+∞,
limx→x0f(x)=-∞等.
(3)無(wú)窮小與極限的關(guān)系
limx→x0f(x)=Af(x)=A+α(x),
limx→x0α(x)=0.
(4)無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系
limx→x0f(x)=∞
limx→x01f(x)=0;
limx→x0f(x)=0,且f(x)≠0
limx→x01f(x)=∞.
2)無(wú)窮小和無(wú)窮大的運(yùn)算性質(zhì)
(1)有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積也是無(wú)窮小.
(2)無(wú)窮小與有界函數(shù)的積是無(wú)窮。
(3)設(shè)limf(x)=+∞,limg(x)=+∞,則lim[f(x)+g(x)]=+∞
……