第一部分同步練習(xí)
　　第8章空間解析幾何與向量代數(shù)
　　8.1知識(shí)要點(diǎn)
　　8.1.1向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算
　　1.向量及其表示
　�。�1）向量：既有大小又有方向的量稱(chēng)為向量，記為a.向量的大小稱(chēng)為向量的模,記作‖a‖或|a|.
　�。�2）向量的表示：向量在幾何上可用有向線(xiàn)段來(lái)表示，以點(diǎn)M為起點(diǎn)，點(diǎn)N為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段是一個(gè)向量，記為MN.數(shù)學(xué)上研究與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的自由向量.
　�。�3）向量的坐標(biāo)與模長(zhǎng)：在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a1,b1,c1)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(a2,b2,c2)，則向量MN的坐標(biāo)為(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，該向量的模長(zhǎng)為
　　|MN|=(a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2．
　�。�4）方向余弦：向量a=(ax,ay,az)的方向余弦為
　　cosα=ax|a|,cosβ=ay|a|,cosγ=az|a|．
　　方向余弦滿(mǎn)足cos2α+cos2β+cos2γ=1．
　　2.向量的運(yùn)算
　　圖8.1
　�。�1）加法與減法．向量的加減法滿(mǎn)足平行四邊形法則，如圖8.1所示：
　　AB+AD=AC，AD-AB=BD．
　　設(shè)向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，則a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz).
　�。�2）向量的數(shù)乘．設(shè)向量a=(ax,ay,az)，λ為實(shí)數(shù)，則λa=(λax,λay,λaz).
　�。�3）向量a與b的數(shù)量積為a·b=|a|·|b|·cosθ，式中θ為向量a與b的夾角.設(shè)向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，則a·b=axbx+ayby+azbz.
　�。�4）向量a與b的向量積為a×b=|a|·|b|·sinθ·ec，其中θ為向量a與b的夾角，ec為同時(shí)垂直于a與b的向量，向量a，b，ec成右手系；|a×b|等于以a和b為鄰邊的平行四邊形面積.
　　設(shè)向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，則
　　a×b=ijk
　　axayaz
　　bxbybz=ayaz
　　bybz,azax
　　bzbx,axay
　　bxby．
　　*（5）向量a，b，c的混合積為［a,b,c］=a×b×c．設(shè)向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)，則
　　a×b×c=axayaz
　　bxbybz
　　cxcycz．
　　|a×b×c|等于以a,b和c為邊的平行六面體的體積.
　　3.向量間的關(guān)系
　　設(shè)a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)均為非零向量.
　�。�1）向量a=b的充分必要條件為ax=bx,ay=by,az=bz.
　　（2）cosθ=a·b|a||b|，式中θ為向量a與b的夾角.
　　（3）射影表示式為：當(dāng)a≠0時(shí)，a·b=|a|Prjab；當(dāng)b≠0時(shí)，a·b=|b|Prjba.
　　（4）a與b平行的充要條件是axbx=ayby=azbz．
　�。�5）a與b垂直的充要條件是axbx+ayby+azbz=0．
　　（6）向量a，b，c共面的充要條件為
　　axayaz
　　bxbybz
　　cxcycz=0．
　　8.1.2曲面及其方程
　　曲面的一般方程為
　　F(x,y,z)=0或z=f(x,y)等.
　　（1）球面：一般方程為x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0，常化為標(biāo)準(zhǔn)方程
　　(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2，
　　其中(x0,y0,z0)為球心;R為半徑.
　　（2）旋轉(zhuǎn)曲面：F(y,z)=0
　　x=0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面為F(y,±z2+x2)=0，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面為F(±y2+z2,z)=0；類(lèi)似可得其他坐標(biāo)平面上的曲線(xiàn)繞同一坐標(biāo)平面內(nèi)的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的方程.
　�。�3）柱面：方程F(x,y)=0表示母線(xiàn)平行于z軸，準(zhǔn)線(xiàn)為F(x,y)=0
　　z=0的柱面；方程F(y,z)=0表示母線(xiàn)平行于x軸，準(zhǔn)線(xiàn)為F(y,z)=0
　　x=0的柱面；方程F(z,x)=0表示母線(xiàn)平行于y軸，準(zhǔn)線(xiàn)為F(z,x)=0
　　y=0的柱面.
　　（4）常見(jiàn)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程
　　橢圓錐面x2a2+y2b2=z2；橢球面：x2a2+y2b2+z2c2=1；
　　單葉雙曲面：x2a2+y2b2-z2c2=1；雙葉雙曲面：x2a2-y2b2-z2c2=1；
　　橢圓拋物面：x2a2+y2b2=z；雙葉拋物面：x2a2-y2b2=z．
　　8.1.3空間曲線(xiàn)及其方程
　�。�1）兩張曲面的交線(xiàn)為曲線(xiàn)．其一般方程為F(x,y,z)=0
　　G(x,y,z)=0．
　　（2）參數(shù)式方程為
　　x=x(t),
　　y=y(t),
　　z=z(t).
　　這里為t參數(shù)．
　�。�3）空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)平面上的投影
　　設(shè)l:F(x,y,z)=0
　　G(x,y,z)=0，消去z，得H(x,y)=0，則曲線(xiàn)H(x,y)=0
　　z=0為曲線(xiàn)l在xOy面上的投影．在其余面上的投影方法類(lèi)似．
　　8.1.4平面及其方程
　　平面與三元一次方程一一對(duì)應(yīng).
　　1.平面的點(diǎn)法式方程
　　過(guò)點(diǎn)(x0,y0,z0)，以非零向量r=(A,B,C)為法向量的平面方程為A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
　　2.平面的一般式方程
　　在點(diǎn)法式方程中，令D=-(Ax0+By0+Cz0)，得到形如Ax+By+Cz+D=0的方程.
　　3.平面的截距式方程
　　平面在x軸、y軸、z軸上的截距分別為a,b,c，當(dāng)abc≠0時(shí)，平面的方程為xa+yb+zc=1.
　　4.平面的三點(diǎn)式方程
　　設(shè)Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)為平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn)，則有平面方程
　　x-x1y-y1z-z1
　　x2-x1y2-y1z2-z1
　　x3-x1y3-y1z3-z1=0.
　　5.兩個(gè)平面之間的關(guān)系
　　設(shè)平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)為平面的法向量；平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)為平面的法向量.
　　（1）平行：π1∥π2�趎1∥n2�趎1=λn2(λ≠0)�趎1×n2=0�贏1A2=B1B2=C1C2；
　　（2）垂直：π1⊥π2�趎1⊥n2�趎1·n2=0�贏1A2+B1B2+C1C2=0；
　　（3）相交：A1A2=B1B2=C1C2不成立；
　�。�4）重合：A1A2=B1B2=C1C2=D1D2.
　　6.兩平面的夾角
　　設(shè)平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)為平面的法向量；平面π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)為平面的法向量.θ為兩平面的夾角，則
　　cosθ=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21A22+B22+C22.
　　7.點(diǎn)到平面的距離公式
　　點(diǎn)P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為
　　d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2．
　　8.兩個(gè)平行平面之間的距離公式
　　設(shè)平面π1:Ax+By+Cz+D1=0，平面π2:Ax+By+Cz+D2=0，其中r=(A,B,C)為這兩個(gè)平面的法向量.則兩個(gè)平面之間的距離為
　　d=|D1-D2|A2+B2+C2．
　　8.1.5直線(xiàn)及其表示
　　（1）直線(xiàn)的一般式方程：兩張平面交于一條直線(xiàn)，得直線(xiàn)方程
　　A1x+B1y+C1z+D1=0
　　A2x+B2y+C2z+D2=0.
　　（2）直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程（標(biāo)準(zhǔn)式方程）：過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)，方向?yàn)棣?(m,n,p)的直線(xiàn)方程為
　　x-x0m=y-y0n=z-z0p.
　�。�3）直線(xiàn)的參數(shù)式方程：點(diǎn)向式方程中，令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t，得
　　x=x0+mt,
　　y=y0+nt,
　　z=z0+pt,
　　其中t為參數(shù)．
　�。�4）兩條直線(xiàn)之間的關(guān)系
　　設(shè)直線(xiàn)l1:x-x1m1=y-y1n1=z-z1p1，其中s1=(m1,n1,p1)為直線(xiàn)的方向向量；直線(xiàn)l2:x-x2m2=y-y2n2=z-z2p2，其中s2=(m2,n2,p2)為直線(xiàn)的方向向量.
　�、倨叫校簂1∥l2�趕1∥s2�趕1=λs2(λ≠0)�趕1×s2=0�趍1m2=n1n2=p1p2；
　　②垂直：l1⊥l2�趕1⊥s2�趕1·s2=0�趍1m2+n1n2+p1p2=0.
　�、蹆芍本�(xiàn)的夾角：記θ為兩直線(xiàn)的夾角，則
　　cosθ=|m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21m22+n22+p22.
　�。�5）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：直線(xiàn)L的方向向量為τ，P為L(zhǎng)上一點(diǎn)，則點(diǎn)Q到直線(xiàn)L的距離為
　　d=|PQ×τ||τ|．
　�。�6）兩條異面直線(xiàn)間的距離：M1為直線(xiàn)L1上一點(diǎn)，M2為直線(xiàn)L2上一點(diǎn)，L1與L2的方向分別為τ1與τ2，則直線(xiàn)L1和L2的公垂線(xiàn)長(zhǎng)
　　d=|P1P2·(τ1×τ2)||τ1×τ2|．
　�。�7）直線(xiàn)與平面的關(guān)系
　　設(shè)平面π:Ax+By+Cz+D=0，其中n=(A,B,C)為平面的法向量，直線(xiàn)l:x-x0m=y-y0n=z-z0p，其中s=(m,n,p)為直線(xiàn)的方向向量.
　　①平行：π∥l�趎⊥s�趎·s=0�贏m+Bn+Cp=0；
　�、诖怪保害小蚻�趎∥s�趎=λs(λ≠0)�趎×s=0�贏m=Bn=Cp；
　�、壑本�(xiàn)在平面上：n·s=0，且Ax0+By0+Cz0+D=0.
　�。�8）過(guò)直線(xiàn)l：A1x+B1y+C1z+D1=0
　　A2x+B2y+C2z+D2=0的平面束方程是
　　λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0
　　或
　　A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0，
　　其中λ和μ為參數(shù).
　　注第二個(gè)式子中不包含平面A2x+B2y+C2z+D2=0.
　　8.2典型例題分析
　　8.2.1題型一向量代數(shù)的相關(guān)問(wèn)題
　　例8.1若a=4m-n,b=m+2n,c=2m-3n,式中|m|=2,|n|=1,(m,n)=π2,化簡(jiǎn)表達(dá)式a·c+3a·b-2b·c+1.
　　解a·c+3a·b-2b·c+1
　　=(4m-n)·(2m-3n)+3(4m-n)·(m+2n)-2(m+2n)·(2m-3n)+1
　　=16|m|2+9|n|2+1=16×4+9×1+1=74.
　　例8.2設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量，λ為非零常數(shù)，若向量a+λb垂直于向量b，則λ等于（）.
　�。ˋ）a·b|b|2；（B）-a·b|b|2；（C）1；（D）a·b.
　　解所給向量為抽象向量，宜用向量運(yùn)算公式．如果a+λb垂直于向量b，因此應(yīng)有(a+λb)·b=0，整理得a·b+λb·b=0，即
　　a·b+λ|b|2=0，
　　由于b為非零向量，因而應(yīng)有λ=-a·b|b|2，故應(yīng)選（B）.
　　例8.3設(shè)A=2a+b,B=ka+b,其中|a|=1，|b|=2，a⊥b，問(wèn)k為何值時(shí),A與B為鄰邊的平行四邊形面積為6.
　　解由于
　　A×B=(2a+b)×(ka+b)=(2-k)(a×b)，
　　平行四邊形面積為A×B的模.所以
　　6=|A×B|=|2-k|·|a‖b|sin(a,b)=|2-k|·2,
　　即有k-2=±3,所以
　　k1=5,k2=-1.
　　8.2.2題型二空間曲線(xiàn)與曲面的相關(guān)問(wèn)題
　　例8.4求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2與平面y+z=1交線(xiàn)在xOy平面上投影方程.
　　解從曲線(xiàn)方程z=x2+y2
　　y+z=1中消去z，得曲線(xiàn)向xOy平面得投影柱面方程x2+y2+y=1.于是曲線(xiàn)在xOy平面得投影曲線(xiàn)的方程為
　　x2+y+122=54
　　z=0.
　　例8.5求由上半球面z=4-x2-y2和錐面z=3(x2+y2)所圍成立體在xOy面上的投影.
　　解由方程z=4-x2-y2和z=3(x2+y2)消去z得到x2+y2=1.這是一個(gè)母線(xiàn)平行于z軸的圓柱面，這恰好是半球面與錐面的交線(xiàn)C關(guān)于xOy面的投影柱面，因此交線(xiàn)C在xOy面上的投影曲線(xiàn)為
　　x2+y2=1
　　z=0.
　　這是xOy面上的一個(gè)圓，于是所求立體在xOy面上的投影，就是該圓在xOy面上所圍的部分x2+y2≤1.
　　例8.6求直線(xiàn)L:x=1-2t
　　y=3+t
　　z=2-3t在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.
　　解在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影分別為
　�。�1）在xOy平面上：x=1-2t
　　y=3+t
　　z=0；
　�。�2）在xOz平面x=1-2t
　　y=0
　　z=2-3t；
　�。�3）在yOz平面上x(chóng)=0
　　y=3+t
　　z=2-3t.
　　8.2.3題型三平面方程的求解
　　例8.7求通過(guò)三平面2x+y-z=0,x-3y+z+1=0和x+y+z-3=0的交點(diǎn),且平行于平面x+y+2z=0的平面方程.
　　解所求平面平行于x+y+2z=0,所以該平面的法向量為(1,1,2).三平面的交點(diǎn)為
　　2x+y-z-2=0
　　x-3y+z+1=0
　　x+y+z-3=0,
　　解得x=1,y=1,z=1.所以所求平面為
　　(x-1)+(y-1)+2(z-1)=0，
　　即x+y+2z-4=0.
　　例8.8一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1(1,1,1)，M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z-4=0，求它的方程.
　　解由已知條件知，向量M1M2=(-1,0,-2)與平面x+y+z-4=0的法向量n=(1,1,1)的向量積M1M2×n即為所求平面的法向量
　　M1M2×n=ijk
　　-10-2
　　111=(2,-1,-1)，