早在1638年，意大利天文學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)問題：全體自然數(shù)與全體平方數(shù)，誰多誰少？不僅伽利略對此困惑不解，許多數(shù)學(xué)家也回答不了這個(gè)問題。誰又會想到，這一問題卻為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——集合論的誕生播下了種子。
　　集合論是19世紀(jì)末德國數(shù)學(xué)家喬治·康托創(chuàng)造的。由于它深入數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落，所以成為一切數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素稱贊康托的發(fā)現(xiàn)“或許是我們這個(gè)時(shí)代可引以為自豪的最偉大的事件”。
　　喬治·康托于1845年3月3日出生于俄國圣彼得堡一個(gè)猶太商人的家庭。1856年，康托全家遷往德國法蘭克福�？低幸簧�主要時(shí)光是在德國度過的。
　　康托有弟妹六人，他是老大。父親從小就給他們灌輸宗教方面的教育，并培養(yǎng)他們自信、自強(qiáng)和奮斗精神。父親在給15歲的康托的一封信中寫道：“你的父親，或者說，你的父母以及在俄國、德國、丹麥的其他家人都在注視著你，希望你將來能成為科學(xué)地平線上升起的一顆明星。”這封信始終陪伴著康托，成為康托終生奮斗的一個(gè)動力。
　　年輕的康托在一所寄宿學(xué)校讀書，操行評語上寫著：“他的勤勉和熱情堪稱典范，在初等代數(shù)和三角方面成績優(yōu)異，其行為舉止值得贊揚(yáng)�！彼�是一個(gè)有很高天賦、全面發(fā)展的學(xué)生，在數(shù)學(xué)方面尤為突出。
　　但父親并不希望兒子獻(xiàn)身純粹數(shù)學(xué)，希望兒子能夠?qū)W工程學(xué)。1862年，康托上了蘇黎世大學(xué)，次年又轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)學(xué)習(xí)。當(dāng)時(shí)，維爾斯特拉斯、庫默爾等著名數(shù)學(xué)家都在柏林大學(xué)任教。受他們的影響，康托放棄了當(dāng)工程師的打算，轉(zhuǎn)為研究純粹數(shù)學(xué)。
　　他22歲時(shí)獲得柏林大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，博士論文是關(guān)于數(shù)論方面的。他在博士論文中提出了一些奇異的觀點(diǎn)，這在常人看來似乎有些離經(jīng)叛道。他卻認(rèn)為，數(shù)學(xué)中提問的藝術(shù)比起解法來更為重要。后來，康托對數(shù)學(xué)獨(dú)特的貢獻(xiàn)就在于他以特殊的提問方式開辟了廣闊的研究領(lǐng)域。
　　1869年康托在哈雷大學(xué)擔(dān)任助教，主要研究數(shù)論、不定方程和三角級數(shù)。從古希臘時(shí)候起，對“無限”問題的研究就一直是數(shù)學(xué)家努力攻克的堡壘之一，但這一工作極其困難。比如，某種無窮多事物的計(jì)數(shù)問題，兩類無窮多事物的個(gè)數(shù)的比較問題等。人們對此類問題的認(rèn)識還不夠深入，致使數(shù)學(xué)中有許多遺留問題未能得到徹底解決。例如實(shí)數(shù)是否可數(shù)，實(shí)數(shù)有多少，等等，在分析學(xué)中也留有不少的疑問。
　　到了19世紀(jì)下半葉，德國另一位大數(shù)學(xué)家戴德金取得了重大突破，他是對20世紀(jì)有極大影響的數(shù)學(xué)家。戴德金曾著文論及“無限”，認(rèn)為一個(gè)系統(tǒng)如能和本身的一部分相似，則稱為是無限的，否則是有限的。
　　在伽利略問題提出200多年以后，1873年康托開始了有關(guān)集合和無限等問題具有變革意義的工作。他第一次系統(tǒng)地研究了無窮集合的度量問題，并給出了度量集合的基本概念：一一對應(yīng)，以此作為衡量集合大小的一把“尺子”。這樣，如果兩個(gè)集合之間能夠建立一一對應(yīng)的關(guān)系，就說它們的個(gè)數(shù)是相等的�？低欣�用自己的這一結(jié)論成功地證明了實(shí)數(shù)集合與自然數(shù)集合之間不能建立起一一對應(yīng)關(guān)系，從而證明了實(shí)數(shù)集合是不可數(shù)的。這就解決了伽利略問題。
　　同年12月7日，他把自己這一發(fā)現(xiàn)寫信告訴戴德金。以后，數(shù)學(xué)史家把這一天看作集合論的誕生日。
　　次年，29歲的康托結(jié)婚了。在度蜜月時(shí)他碰到了戴德金，兩人進(jìn)行了學(xué)術(shù)交流。康托繼續(xù)戴德金的想法，認(rèn)識到戴德金關(guān)于無限的定義是正確的，但是無限集彼此之間也是干差萬別，并不相似，應(yīng)該加以區(qū)別。接著，康托就把他的這些研究成果寫成《論所有實(shí)代數(shù)的集合的一個(gè)性質(zhì)》一文，發(fā)表在《克列爾數(shù)學(xué)》雜志上。這是關(guān)于集合論的第一篇論文，具有開創(chuàng)性意義。該文詳細(xì)地論說了“無限”這一問題，受到世人注目，并成為后來的勢和序數(shù)理論的基礎(chǔ)。
　　以后10年間，他繼續(xù)探索并發(fā)表了一系列論文，并以《集合論基礎(chǔ)》為題作為專著于1883年出版。他開始了數(shù)學(xué)一個(gè)全新領(lǐng)域的研究。他發(fā)展了奠基于對實(shí)無窮作數(shù)學(xué)處理的超限數(shù)理論，并創(chuàng)造了相似于有限數(shù)運(yùn)算的超限數(shù)算術(shù)。
　　集合論體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，它以全新的手段考察數(shù)學(xué)的研究對象，既能見樹木，又能看到森林。對某一類問題的研究，像蘑菇一樣成堆成片地作出發(fā)現(xiàn)。
　　鄰域、映射、線性空間、結(jié)構(gòu)、群、環(huán)、域等一系列現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念，都建立在集合論的基礎(chǔ)之上�？低性�1882年提出一個(gè)猜想：在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)。直觀地講，就是實(shí)數(shù)有多少的問題，一條直線上點(diǎn)有多少的問題。100年來，經(jīng)過許多著名數(shù)學(xué)家的不懈努力，集合論取得了一些重大進(jìn)展，而且為了解決它也找到一些著名的方法，這些方法對解決其他數(shù)學(xué)問題起了積極的作用。但是就猜想本身來說，還需要繼續(xù)尋求新的數(shù)學(xué)命題或采用其他有效途徑去證明。