《相對論與引力理論導論》是關于相對論及引力理論的基礎理論性著作,以盡量短小的篇幅向讀者介紹現代相對論引力理論的基本知識和部分前沿方向,內容包括狹義相對論回顧、等效原理與黎曼幾何初步、彎曲時空中的場方程(愛因斯坦方程、引力變分原理以及弱場極限)、球對稱的引力場、黑洞理論、標架形式與旋量場、高維及帶宇宙學常數的時空、引力場的能量與哈密頓表述、宇宙學簡介、擴展的引力理論以及額外維與時空緊化等。
《相對論與引力理論導論》適合作為高等學校理論物理學、天文學及相關專業(yè)研究生、高年級本科生作為學習相對論引力理論的參考書,也可供上述專業(yè)的科研人員作為參考。
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在自然界存在的四種基本相互作用中,引力是我們接觸最早然而卻最不熟悉的一種力。雖然早在三百多年前牛頓就建立了萬有引力定律,但是這個定律僅僅告訴我們引力如何發(fā)揮作用,而完全沒有提供關于引力的本性的任何信息。在狹義相對論誕生以后,人們很快意識到萬有引力定律的瞬時、長程作用與時空的因果結構是互相沖突的。愛因斯坦以他驚人的洞察力首先在1915年提出了與時空因果結構相融洽的廣義相對論引力理論。在這個理論中,引力被描述成由動力學決定的時空幾何,這是繼狹義相對論之后人類時空觀的又一次重大變化。由于幾何性質天然地與參考系的選擇無關,因此在廣義相對論中,任何物理規(guī)律的表述都必須具有廣義協變性,也就是說,物理規(guī)律的數學表述在形式上不依賴于參考系的選擇。
引力是自然界最弱的一種力。桌面上的一只大頭針可以很容易地被一小塊磁鐵吸引,盡管整個地球的引力都在抵抗磁鐵的磁力。然而,由于引力的“荷”——質量——只有一種符號,而電磁力的荷——電荷——有正負之分,在比較大的時空尺度上,電磁力基本上被屏蔽掉,而引力才是起決定作用的力。自愛因斯坦以來,廣義相對論理論引力理論得到了長足的發(fā)展,人們已經用這一理論研究了自然界各種有引力參與的物理過程,特別是關于宇宙結構和演化、關于黑洞的熱力學性質等理論是近幾十年來人們對引力現象進行深入探討的典型范例,也是現代引力理論中引人注目的亮點。由于宇宙的演化由引力主導,在早期宇宙問題中我們將不可避免地要涉及引力的量子化的問題。然而迄今為止,還沒有一個成熟的、有預言力的量子引力理論。關于引力的探索還遠未結束,在有關領域更為深入并且也許是更為精彩的篇章還有待未來進一步探索。
本書的目的是向讀者介紹目前人們已經掌握的關于引力的部分理論成果。它是基于編者為西北大學和南開大學的研究生開設“廣義相對論與宇宙學”課程的講稿經擴展后撰寫而成,內容涉及狹義相對論、黎曼幾何,特別是相對論引力理論的構造、求解、彎曲時空基本性質的分析、黑洞理論、宇宙學、額外維以及時空緊化等方面的理論知識。在撰寫過程中,參考了大量有關的書籍和原始文獻,其中最主要的部分會以腳注的形式予以說明,還有一部分參考書籍和文獻單列在書末的參考文獻中,原因是這些圖書和文獻在本人學習相對論引力理論的過程中產生過重要影響,已不足以在某個單獨的腳注中列舉其對本書形成所發(fā)揮的作用。當然,疏忽和遺漏往往難以避免,如有文獻未能正確引用,歡迎原作者予以指正。在此對所有參考文獻的原著者謹表示由衷的感謝。對書中可能出現的錯誤,是編者的水平有限所致,而絕非所涉及的參考文獻原作者的過失。
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目錄
前言
第1章 狹義相對論回顧1
1.1伽利略相對論與慣性參考系1
1.2麥克斯韋電磁理論與Lorentz變換2
1.3狹義相對論的基本假定5
1.4狹義相對論的數學工具:矢量和張量6
1.4.1張量的變換規(guī)則6
1.4.2張量的代數和微分運算8
1.4.3切矢量與方向導數9
1.5狹義相對論時空因果結構及狹義相對性10
1.5.1速度的合成10
1.5.2時空因果結構與同時性的相對性11
1.5.3時間膨脹與空間壓縮14
1.6狹義相對論質點力學與場論15
1.6.1質點力學15
1.6.2麥克斯韋方程組的協變形式18
1.6.3標量場20
1.7相對論流體20
1.8Lorentz群和Poincar.e群的李代數的表示23
1.8.1Lorentz群的李代數及其表示23
1.8.2Poincar.e群的李代數及其表示29
1.8.3旋量場30
1.8.4旋量二次型與不可約張量37
第2章 等效原理與黎曼幾何初步39
2.1等效原理39
2.2時空的幾何贗黎曼流形41
2.3張量分析45
2.3.1張量的定義45
2.3.2局域因果結構48
2.3.3張量代數49
2.3.4協變導數50
2.3.5矢量場的對易括號52
2.4仿射聯絡與Christo.el符號53
2.4.1仿射聯絡的變換性質和不唯一性53
2.4.2Christo.el符號55
2.4.3協變散度56
2.5矢量平移與測地線58
2.5.1矢量平移58
2.5.2測地線59
2.6曲率張量62
2.6.1黎曼曲率張量62
2.6.2黎曼張量的幾何解釋測地偏移方程63
2.6.3黎曼張量的指標對稱性64
2.6.4Bianchi恒等式65
2.6.5曲率張量的降秩縮并65
2.7李導數與Killing矢量場67
2.7.1李導數67
2.7.2Killing矢量場70
2.8Weyl變換與共形變換72
2.8.1Weyl變換72
2.8.2共形變換74
2.9超曲面75
2.10微分形式與Stokes定理79
2.10.1微分形式與外微分79
2.10.2體積形式與流形上的積分80
2.10.3Hodge對偶82
2.10.4Stokes定理83
2.11幾個簡單的(贗)黎曼流形85
2.11.12維球面85
2.11.2Rindler時空87
2.11.3Robertson-Walker度規(guī)89
2.12翹曲流形91
第3章 彎曲時空中的場方程94
3.1贗黎曼時空中的質點力學94
3.1.1質點運動方程94
3.1.2牛頓極限95
3.2電磁場與自由標量場方程96
3.2.1電磁場方程96
3.2.2標量場方程99
3.3贗黎曼流形中的流體99
3.4引力場方程100
3.4.1牛頓引力場方程100
3.4.2相對論引力場方程102
3.5引力變分原理103
3.5.1作用量變分與愛因斯坦方程103
3.5.2Gibbons-Hawking-York邊界項105
3.6最大對稱真空解與宇宙常數107
3.7弱場極限與線性擾動112
3.7.1弱場極限與場方程的線性化112
3.7.2牛頓近似與泊松方程114
3.7.3引力場的磁效應115
3.7.4真空中的弱引力波116
3.7.5有源弱引力波118
3.8非弱場性質初探123
3.8.1引力場的獨立分量個數123
3.8.2非微擾的波動解平面平行波124
第4章 球對稱的引力場128
4.1Schwarzschild真空解128
4.2Birkho.定理130
4.3Schwarzschild內部解132
4.4Schwarzschild時空中的物理學137
4.4.1Schwarzschild時空中的長度和時間137
4.4.2雷達波的延遲138
4.4.3引力紅移與譜移動140
4.4.4質點的測地運動141
4.4.5近日進動145
4.4.6光線彎曲148
第5章 黑洞理論154
5.1Schwarzschild黑洞154
5.1.1視界與光錐154
5.1.2黑洞的形成機制和數量估計158
5.1.3非奇異坐標系159
5.1.4近視界極限165
5.1.5裸奇點166
5.1.6Carter-Penrose圖166
5.2Reissner-Nordstr.om黑洞171
5.2.1非極端RN黑洞174
5.2.2極端RN黑洞177
5.3穩(wěn)態(tài)軸對稱黑洞解178
5.3.1唯一性定理178
5.3.2Kerr及Kerr-Newman黑洞度規(guī)、視界與漸近行為179
5.3.3能球與能層185
5.3.4Kerr時空中的質點力學與幾何光學187
5.4Killing視界與表面引力190
5.5時空的漸近平坦性194
5.6漸近平坦黑洞時空的可觀測量196
5.6.1質量196
5.6.2角動量197
5.6.3電荷198
5.6.4小結199
5.7黑洞面積定律與黑洞熱力學199
5.8Hawking輻射202
5.8.1Hawking輻射的半經典理論203
5.8.2黑洞輻射的隧穿理論210
第6章 標架形式與旋量場215
6.1標架場216
6.2導數與微分運算218
6.3撓率與曲率形式219
6.4愛因斯坦{希爾伯特作用量221
6.5標量與矢量物質場222
6.6旋量場223
6.7小結225
第7章 高維及帶宇宙學常數的時空227
7.1不含宇宙學常數的高維黑洞解227
7.1.1高維球對稱黑洞227
7.1.2黑弦、黑膜及其不穩(wěn)定性231
7.1.3高維軸對稱黑洞232
7.1.45維時空中的新型黑洞黑環(huán)解235
7.2高維黑洞解的構造方法238
7.2.1Kerr-Schild形式239
7.2.2Belinski-Zakharov構造241
7.2.3推廣的Weyl解法242
7.3含非零宇宙學常數的黑洞時空244
7.3.1Tangherlini-(A)dS黑洞244
7.3.2Tangherlini-RN-(A)dS黑洞248
7.3.3Kerr-(A)dS黑洞250
7.4擴展相空間中的黑洞熱力學252
第8章 引力場的能量與哈密頓表述258
8.1Komar能量258
8.2正則哈密頓表述與ADM能量260
8.2.1引力作用量的ADM分解260
8.2.2正則哈密頓量與ADM能量263
8.2.3引力場的完整哈密頓結構266
8.3AD能量267
8.4引力場的準局域能量269
8.5引力場的正則量子化及其困難271
第9章 宇宙學簡介274
9.1宇宙學原理274
9.2膨脹的宇宙:測距方法與FRW模型275
9.2.1宇觀尺度的測量275
9.2.2各向同性的膨脹宇宙Robertson-Walker度規(guī)279
9.2.3膨脹的運動學方程FRW宇宙282
9.2.4物態(tài)方程283
9.3Hubble參數、紅移與密度參數285
9.3.1Hubble參數與紅移285
9.3.2密度參數與Friedmann方程287
9.4早期宇宙289
9.5標準宇宙學模型的困難295
9.5.1均勻性困難295
9.5.2平坦性疑難295
9.5.3視界困難296
9.6暴漲宇宙學模型297
9.6.1暴漲發(fā)生的必要條件298
9.6.2暴漲子與慢滾條件299
9.6.3暴漲持續(xù)的時間與e-fold數304
9.7微波背景輻射簡介307
9.7.1溫度與頻譜307
9.7.2溫度漲落的角關聯與功率譜310
9.7.3極化312
9.8原初擾動314
9.8.1度規(guī)擾動315
9.8.2物質擾動316
9.8.3規(guī)范問題317
9.8.4規(guī)范固定與擾動方程318
9.8.5標量擾動的量子漲落322
9.8.6張量擾動324
9.8.7張標比與譜指數325
第10章 擴展的引力理論327
10.1Gauss-Bonnet引力327
10.1.1作用量和場方程327
10.1.2黑洞解329
10.2f(R)引力336
10.2.1度規(guī)表述336
10.2.2Palatini表述338
10.3標量張量理論及其與f(R)引力的等價性341
10.3.1Brans-Dicke理論341
10.3.2度規(guī)表述下f(R)引力與標量—張量理論的等價性343
10.3.3Palatini表述下f(R)引力與標量—張量理論的等價性344
10.4(2+1)維引力理論及其擴展345
10.4.1拓撲有質量引力346
10.4.2新的有質量引力348
10.4.3高自旋引力349
第11章 額外維與時空緊化352
11.1引言352
11.2緊致的小額外維Kaluza-Klein理論353
11.2.15維到4維的KK緊化353
11.2.2(n+1)維到n維的KK緊化357
11.2.3多個額外維同時緊化358
11.2.4Kaluza-Klein宇宙學360
11.2.5Kaluza-Klein緊化的動力學機制362
11.3緊致的大額外維ADD膜世界模型概要364
11.4非緊的大額外維RS2模型366
11.5額外維在S1=Z2上的緊化RS1模型370
11.6無窮體積的額外維DGP膜世界模型373
11.7含額外維的引力理論小結375
參考文獻377
附錄ALevi-Civita符號與Levi-Civita張量378
A.1Levi-Civita符號378
A.2Levi-Civita張量379
附錄B高維AdS時空及其坐標選擇380
B.1作為超曲面的AdSn+1380
B.2AdSn+1的其他坐標選擇381
B.3AdS時空的邊界385
附錄C坐標變換中的一個微妙問題387
附錄D一些物理常數389
D.1基本物理常量(國際單位制)389
D.2一些常用的參考物理量389
索引390
插圖目錄
圖1.1狹義相對論中事件的光錐12
圖1.2狹義相對論中的等時性13
圖2.1流形上的局域坐標系43
圖2.2平面與球面上的矢量平移比較58
圖2.3流形間的映射68
圖2.4Rindler時空與Minkowski時空88
圖3.1deSitter時空示意圖110
圖3.2反deSitter時空示意圖111
圖3.3Hulse-Taylor雙中子星系統的周期演變(實線是理論曲線)122
圖4.1Schwarzschild時空中的徑向長度137
圖4.2不同參數下牛頓引力和廣義相對論引力中的質點勢能曲線145
圖4.3光線的偏折150
圖4.4光線偏折的實例153
圖5.1Schwarzschild黑洞視界附近的光錐157
圖5.2Kruskal坐標系162
圖5.3Minkowski時空的Carter-Penrose圖168
圖5.4Schwarzschild時空的Carter-Penrose圖170
圖5.5函數R2(U;V)的曲面圖像171
圖5.6Reissner-Nordstr.om黑洞外視界附近的Kruskal坐標系175
圖5.7Reissner-Nordstr.om黑洞內視界附近的Kruskal坐標系175
圖5.8Reissner-Nordstr.om黑洞的Carter-Penrose圖176
圖5.9極端Reissner-Nordstr.om黑洞的Carter-Penrose圖177
圖5.10Kerr裸奇點的Carter-Penrose圖181
圖5.11Kerr黑洞的Carter-Penrose圖183
圖5.12極端Kerr黑洞的Carter-Penrose圖183
圖5.13能球與能層186
圖5.14漸近平坦時空的Carter-Penrose圖的局部195
圖5.15兩個黑洞碰撞形成更大的黑洞是允許的200
圖5.16一個黑洞分裂成兩個較小的黑洞是禁止的201
圖5.17星體塌縮形成黑洞的過程(Carter-Penrose圖)207
圖7.1黑環(huán)視界237
圖7.2高維黑洞的不唯一性和238
圖7.34維和5維球對稱黑洞對應的棒圖244
圖7.4Tangherlini-RN-dS時空的視界個數(橫軸對應f(r)=0)249
圖7.5范德瓦耳斯系統和RN-AdS黑洞的等溫線對比254
圖7.6RN-AdS黑洞的等溫自由能曲線和等溫線256
圖7.7RN-AdS黑洞的等壓自由能曲線和等壓線257
圖8.1時空流形的邊界262
圖9.1幾何測距法276
圖9.2Hertzsprung-Russel圖:沿主對角線的最長星帶為主序帶277
圖9.3FRW宇宙學中的尺度因子隨時間的變化290
圖9.4暴漲子的勢函數301
圖9.5Planck對暴漲模型的限制304
圖9.6隨動Hubble半徑隨時間的演化305
圖9.7COBE衛(wèi)星觀測到的CMB頻譜308
圖9.8Planck 2015實驗觀測到的CMB溫度漲落309
圖9.9Planck 2015實驗觀測到的CMB溫度漲落關聯的多極矩譜311
圖9.10Planck 2015實驗觀測到的CMBET及EE極化多極矩譜314
圖11.1ADD膜世界示意圖364
圖11.2模函數[y]及其導數372
圖11.3DGP理論中的質量標度375