你好！感謝你在考研復習過程中，選擇了我們這套叢書做伴.在未來接近1年的時間里，我們將始終跟你在一起并肩作戰(zhàn)，為你保駕護航.如果你在復習過程中，碰到什么問題，我們熱烈地歡迎你聯(lián)絡我們.你也可以關注叢書主編朱祥和教授的新浪微博：祥和老師.考研數(shù)學滿分150分，是研究生考試中非常重要的一門科目，很容易拉開分數(shù)，因此是考研學生必爭的領地，享有得數(shù)學者得考研的美譽.本書分為三個部分，即高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計，這三個部分獨立成體系.本書在總結歷年考研真題的基礎上，結合最新的考研命題思路，針對考研數(shù)學的基礎復習時間、重點、方式、參考資料、輔導班等基本問題進行分析，以助準備考研的同學們能夠順利考上自己心儀的學府.
一、 宏觀復習脈絡1. 知己知彼，百戰(zhàn)不殆1） 考試類型考研數(shù)學按照考生所報考的專業(yè)主要可分為三個類型，即數(shù)學一、數(shù)學二、數(shù)學三，考查內(nèi)容涉及高等數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計以及線性代數(shù)三個部分（注意，數(shù)學二不考概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分）.在數(shù)學一、數(shù)學三的試卷中，三科所占的比重分別約為 56%、22%、22%，而在數(shù)學二的試卷中，高等數(shù)學和線性代數(shù)分別約占 78% 和 22% 的比例.考生在實際復習過程中，要按照三個部分在考試中所占的比例，合理地分配復習時間.2） 試卷題型在開始復習前，必須對考研數(shù)學的題型有一個清楚的把握.考研數(shù)學的整張試卷可以分為選擇題、填空題和解答題三種題型.選擇題有8道題，填空題有6道題，每道題均為4分.這兩部分占了很大的比例，達到56分.解答題為9道，共94分.對待這三種不同的題型，應該選擇不同的解題方法，例如，在做選擇題和填空題時，可能會有一些特殊的處理方法和技巧.如果做這種題還是按照常規(guī)主觀題的做法，有的時候方法不當，本來很簡單的題做成了很復雜的題，走了彎路，而且浪費了寶貴的時間.但是，考生也不能片面追求技巧，而是要把這種技巧建立在自身已經(jīng)很牢固地掌握基礎知識之上，做到基礎牢固，技巧添花.3） 考研數(shù)學考什么據(jù)統(tǒng)計，每年考研數(shù)學試題中有60%以上的題目是在考查對基礎知識的理解與掌握，所以一定要重視基礎.但是很多同學不夠重視這一點，總是好高騖遠，一味尋求技巧或者是摳難題，以為這樣才是提高數(shù)學成績的途徑.其實，這就是相當一部分同學復習數(shù)學的惡習.考研數(shù)學中大部分是中檔題和容易題，所謂的20%的比較有難度的題目，其考查的不過是簡單題目上的進一步綜合分析能力，并不是說有多么難.簡而言之，考研數(shù)學的考試重點在于對基礎知識的掌握與運用.4） 善用歷年真題統(tǒng)計表明，每年的研究生入學考試高等數(shù)學內(nèi)容較之前幾年都有較大的重復率.當年試題與往年考題雷同的約占50%.這些考題或是改變某一數(shù)字，或是改變一種說法，但解題的思路和所用到的知識點幾乎一樣.需要通過對考研的試題類型、特點、思路進行系統(tǒng)的歸納總結，并做一定數(shù)量的習題，有意識地重點解決解題思路問題.對于那些具有很強的典型性、靈活性、啟發(fā)性和綜合性的題，要特別注重解題思路和技巧的培養(yǎng).盡管每年試題千變?nèi)f化，但其所考的知識結構基本相同，題型相對固定，往往存在明顯的解題套路.提煉題型的目的是提高解題的針對性，形成思維定式，進而提高考生解題的速度和準確性.例如，考數(shù)學一的同學，最好看看往年的其他類數(shù)學的真題，如數(shù)學三的概率論與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)學二的線性代數(shù)等.一方面，這些題目有可能難于數(shù)學一的，另一方面，這些考題有可能稍作變換后就出現(xiàn)在當年的數(shù)學一考試中.此外，現(xiàn)在的閱卷都是分步給分的，要通過自己不斷地摸索去體會歷年考試真題，重視總結歸納、解題思路、套路和經(jīng)驗，做到訓練有素.這樣在考試中即便碰到很吃力的問題，也可以將分數(shù)的損失減到最低.2. 運籌帷幄，決勝千里在啟動考研數(shù)學復習之前，首先需要從宏觀上把握考研數(shù)學全年復習規(guī)劃.考研是一個極具選拔性和自學性的考試.在學習中必須具備良好的心態(tài)和策略，這是成功的保證.學數(shù)學靠的是日積月累，靠的是早準備、早計劃、早復習.數(shù)學基礎好的同學需要花8～10個月時間，稍差的同學需要花12～15個月時間.數(shù)學的復習應具有連貫性.由于數(shù)學分值的重要性以及數(shù)學內(nèi)容多而雜，量很大，因此應該做好打持久戰(zhàn)的心理準備.事實上，一旦進入考研備考階段，數(shù)學復習就不應該間斷，考生最好可以保證每天至少用3個小時的時間來復習數(shù)學.特別是到了最后沖刺階段，考生在心理和生理上都難免會感到疲憊，而此時恰恰是復習備考最關鍵的時候.若此時間斷或者放下對數(shù)學的復習，則會對考生的備考狀態(tài)產(chǎn)生不利影響.在最后的復習階段中，最好按照考試時間去做一些強度不太大的模擬題或者已經(jīng)做過的真題，讓自己保持手感，以良好的復習心態(tài)積極迎接考試，這是至關重要的.總體來說，就是要前期把基礎打好，中期進行專項訓練，后期進行技巧培訓，日積月累，持之以恒.考生要保持良好平穩(wěn)的心態(tài)，避免情緒因素影響復習和考試.每年都有很多考生中途放棄，越到后期越密集，幾乎每天都不斷有人退出競爭，甚至在考場上還有當場打退堂鼓的.據(jù)調(diào)查，每年在6月份宣稱準備考研的同學中大約只有40%堅持到底.這種堅持需要超強的毅力和定力.實現(xiàn)這種超強毅力和定力：一是憑借各人的自制力；二是通過不斷的自我心理暗示來強化信心；三是盡量遠離干擾源，如盡量不要在宿舍學習；四是通過周期性的適當放松，甚至發(fā)泄，以保持心理平衡.此外，在復習的過程中，一旦復習計劃制訂完成，就要嚴格按照要求來執(zhí)行.過度地與別人進行比較，會干擾自己的進度，影響自己的心理狀態(tài)，擾亂自己的復習計劃.要做到按部就班，循序漸進，心中有數(shù).孟子曾經(jīng)說過：天將降大任于斯人也，必先苦其心志，勞其筋骨，餓其體膚，空乏其身，行拂亂其所為，所以動心忍性，曾益其所不能.考研對我們來說，不單單是對知識點的考查，更是對考生心理素質(zhì)的巨大考驗.考生必須要做好足夠的心理準備，去迎接即將到來的磨煉.考研的路上，請牢牢記得：只有心理強大，才是真正的強大.3. 合理安排每天的復習時間在研究生入學考試中，數(shù)學被安排在上午，為了調(diào)整生物鐘與之一致，我們建議考生將數(shù)學的復習時間安排在上午.每天上午8:3011:30為佳.每天至少應該花3個小時來復習數(shù)學，其中用1.5～2個小時的時間理解、掌握基本概念、定義等，余下的時間用于做習題的鞏固.考生也可以根據(jù)自己對于知識的掌握程度做適當?shù)脑鰷p.要保證基礎階段高等數(shù)學的復習在3個月內(nèi)完成，線性代數(shù)的復習在1個月內(nèi)完成，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的復習在1個月內(nèi)完成.二、 核心復習內(nèi)容1. 教材1） 計劃安排把握大綱，吃透課本（1） 把握大綱.考試大綱之所以很重要，是因為它幾乎涵蓋了考試的所有知識點和對考生能力的要求.考試大綱對考試內(nèi)容的要求有理解、了解、掌握三個層次；對方法的要求有掌握、會(能)兩個層次.一般來說，要求理解的內(nèi)容、要求掌握的方法，是考試的重點.在歷年考試中，這方面考題出現(xiàn)的概率較大;在同一份試卷中，這方面試題所占的分數(shù)也較多，不僅要在主要內(nèi)容和方法上多下功夫，更重要的是去尋找重點內(nèi)容與次要內(nèi)容間的聯(lián)系，以主帶次，用重點內(nèi)容提挈整個內(nèi)容.主要內(nèi)容理解透了，其他的問題迎刃而解.從近幾年的情形來看，考研數(shù)學大綱基本沒有變化.（2） 吃透課本.課本是數(shù)學所有知識的源，所以在復習的過程中，一定要牢牢地抓住課本.在復習備考的基礎階段，首先要從課本著手，參照考試大綱，建立對數(shù)學課本整個體系知識脈絡的宏觀掌握，同時培養(yǎng)好的復習習慣.需要強調(diào)的是，僅僅粗枝大葉地瀏覽一遍課本是絕對不行的，只有通過對課本第二遍、第三遍的反復研讀，才能真正理解和掌握課本的精華.2） 推薦書目（1） 《高等數(shù)學》，同濟大學數(shù)學系編，第七版（上、下兩冊）.（2） 《工程數(shù)學線性代數(shù)》，同濟大學數(shù)學系編，第五版.（3） 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，浙江大學盛驟、謝式千、潘承毅編，第四版.（4） 《考研數(shù)學基礎引導》，朱祥和主編.3） 復習建議在數(shù)學基礎階段的復習過程中，應該注意高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計三科的復習順序.在第一遍復習中，建議先復習高等數(shù)學，再復習線性代數(shù)，最后復習概率論與數(shù)理統(tǒng)計.對于要考數(shù)學二的同學，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容不在考試的范圍之內(nèi).由于高等數(shù)學是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎，首先學習高等數(shù)學是上佳選擇.同時，由于數(shù)學的學習具有系統(tǒng)性和連續(xù)性，因此建議一門課程復習完畢后，再投入下一門的復習.當然同學們也可以根據(jù)自己的特殊情況調(diào)整復習順序.在第二遍復習過程中，建議在腦海中通過線索把所學的知識串聯(lián)起來.例如，在復習高等數(shù)學時，一定要把極限論、微分學和積分學有機地結合起來，前后貫穿，靈活運用.在復習線性代數(shù)時，一定要以線性方程組為核心，前后融會貫通，靈活運用所學知識來分析問題和解決問題，不要將它們孤立割裂開來.比如，行列式、矩陣、向量、線性方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯(lián)系的.在復習概率論與數(shù)理統(tǒng)計時，考生要靈活運用所學知識，建立正確的概率模型，綜合運用極限、連續(xù)、導數(shù)、積分、廣義積分、二重積分及級數(shù)等知識去分析和解決實際問題，提高解綜合題的能力.2. 三基（基本概念、基本方法、基本定理）1） 計劃安排強化基礎，重視三基在復習課本的過程中，一定要重視基本概念、基本方法和基本定理.數(shù)學是一門邏輯性極強的演繹科學，只有對基本概念深入理解，對基本定理和公式牢牢記住，才能找到解題的突破口和切入點.通過分析數(shù)學答卷可以發(fā)現(xiàn)，因為忽略了三基而失分的現(xiàn)象在近年的考試中出現(xiàn)很多.考生失分的一個重要原因就是對基本概念、定理記不全、記不牢、理解不準確，對基本解題方法掌握不好等；大多數(shù)考生往往因為一個考點沒掌握而影響了整道題的運算，最終導致失分.如果對數(shù)學中最基本的方法掌握不好，則會給解題帶來思維上的困難.例如，判斷狄利克雷函數(shù)在x=0處的間斷點類型，在這道題上犯錯誤的同學不在少數(shù).原因主要有二：一是對極限的性質(zhì)還很模糊，沒有分清函數(shù)在一點處有定義和函數(shù)在一點存在極限的區(qū)別；二是沒有深入理解間斷點的類型，不了解第一類間斷點和第二類間斷點的本質(zhì)區(qū)別.這道題大家如果對照著課本一步一步做，幾乎沒有人會做錯，而如果脫離了課本，很多人卻感覺模棱兩可.可導、可積等概念也是如此，其易錯點有待大家在復習時挖掘.因此，在復習過程中，一定要針對大綱和課本具體研究，將二者有機結合起來，重點要把三基打牢固.2） 復習建議第一，基礎需全面.在備考復習的實踐中，可能會遇到一些非常基本，而課本中又未明確給出的知識點，有些甚至是高中所學的知識，例如，三角函數(shù)的運算（和差角公式、積化和差公式、二倍角公式、半角公式等）、兩點之間距離公式、階乘公式、韋達定理，以及冪指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的變換等.這些內(nèi)容雖然很基礎，但復習的時候絕不能忽略，一旦出錯會影響后續(xù)的運算，甚至有些時候，它們可能會成為考試解題的突破點.例如：loga（xy）=logax logay，其中x＞0，y＞0，這個式子可以作為滿足f（xy）=f（x） f(y)的一個特殊函數(shù)，進行特殊化處理，也可以運用到求含復雜運算的對數(shù)函數(shù)的導數(shù)中（例如，求y=ln3x2ex（x＞0）的導數(shù)，可先將式子變形為y=ln32 lnx 12lnex，易得其導數(shù)為y=1x 12，其他不再一一舉例）.第二，復習方法須得當.在復習中，首先通過課本的目錄熟悉一下各章節(jié)的內(nèi)容，然后吃透基本的概念、定理、例題，對一些重要的概念、公式要在理解的基礎上進行記憶，同時通過課后習題進行鞏固.對于一些易混淆的概念，可以通過相互比較來進行區(qū)分，把握課本前后內(nèi)容的相互聯(lián)系.例如，在講到函數(shù)時，應對函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性、對稱性和凸凹性等性質(zhì)進行歸納和總結，以便靈活運用.3. 例題和課后習題1） 計劃安排強化基礎，重視三基課本中的例題都是很簡單的，能夠成為例題，說明它們必然有其經(jīng)典之處，請大家細心體會.再有就是課后習題，盡管在一道大題中，每一道小題看起來都差不多，但如果不一道一道認真做，是很容易忽視一些細節(jié)問題的.例如：x=0是否是y=arctan(1/x)的一條垂直漸近線？如果y=xsin(1/x)在x趨于正無窮大和負無窮大時的極限都存在，是否它就有兩條水平漸近線？對于第一個問題，首先我們應該明白垂直漸近線，是在自變量趨于某一點時，其函數(shù)趨于無窮，因此，當x趨于0 時，1/x趨于正無窮，arctan(1/x)趨于2，不是趨于無窮大，而當x趨于0-時，arctan(1/x)趨于-2，不是趨于無窮大.由此可見，x=0不是y=arctan(1/x)的一條垂直漸近線，而且，還能得出x=0是y=arctan(1/x)的第一類間斷點，類型為跳躍間斷點.而對于y=xsin(1/x)，當x趨于正無窮大和負無窮大時，1/x均趨于0，根據(jù)limy=limsin(1/x)1/x=1，可知當x趨于正無窮與負無窮時，其只有一條漸近線，為直線y=1.此處不再一一舉例.另外，每章的總復習題中的部分題目就是歷年考研真題，其重要性不言而喻.4. 強化訓練1） 計劃安排多動手，熟能生巧很多考生存在這樣的問題：書看了，就以為會了，或者做題時只是在草稿紙上畫兩下，并沒有認真地算，而等到真正動手做的時候，錯誤百出.這是個很大的問題.數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，容不得半點紕漏，在還沒有建立起完備的知識結構之前，若只看解題而不親自動手做，則必然難以把握題目中的重點.這就要求同學們平時復習的時候，切勿眼高手低，對待一些基本的運算題不能光看會，而不去算.不是說每道題都認真地做到底，但每一種類型的計算題都應該拿出一定量進行練習，這樣才能提高計算的準確率，保證會做的題目真正能夠得分.而且，通過動手練習，還能幫助同學們規(guī)范答題模式，提高解題和運算的熟練程度.正式考試時3個小時那么大的題量，本身就是對計算能力和熟練程度的考查.因此，為了取得好的數(shù)學成績，要求必須大量練習.2） 復習建議在做題的過程中，一定要重視總結歸納解題思路、方法和技巧.很多同學做題的過程就到核對過答案或是糾正過錯誤就結束了.建議大家在糾正完錯誤之后，再把題目從頭看一遍，總結一下自己都在哪些方面出錯了，原因是什么，這道題中有沒有出現(xiàn)自己不知道的新的方法、思路，新推導出的定理、公式等，并把這些有用的知識全都寫到筆記本上，以便隨時查看和重點記憶.對于大題的解題方法，要仔細想一想，都涉及哪些科目和章節(jié)、這些知識點之間有哪些聯(lián)系等，從而使自己所掌握的知識系統(tǒng)化，以達到融會貫通.只有這樣，才能使做過的題目實現(xiàn)其最大的價值.如果你能夠這樣做，那么做過的題在以后的復習中如果沒有時間，就不用再拿出來重新看了，因為你已經(jīng)把要掌握的精華總結好了，只需看筆記本就行了.5. 思維的訓練1） 計劃安排多歸納總結，發(fā)散思維思維上的訓練存在于整個復習過程中，在最后考試的時候得以充分檢驗.在平常的復習過程中，要有意識地培養(yǎng)逆向思維、抽象思維和定向思維的能力.在訓練中，要注意理解和總結一些技巧性的東西，有意識地提高自己思維的靈活性.要爭取一題多種解法，即概念要相通，在自我訓練過程中多思考，靈活運用概念原理.同時，要多了解歸納數(shù)學命題中常用到的一些思想.這里列舉一些，供同學們在復習中學習、領會、運用、掌握.（1） 數(shù)形結合的思想：利用圖形來求解數(shù)學問題是一種非常簡便、有效的常用手段，有時可將復雜問題直觀化、簡單化；對于有些問題，必須要畫出圖形，才能進行求解，例如，求曲線在某點的曲率中心坐標，斜率、導數(shù)與正切角的關系，等等. （2） 放縮的思想：可廣泛地應用于夾逼法則求極限、證明不等式、求上下界等問題上.它是一種對技巧性要求較高的方法，通常需要對問題進行合適的變形才可以得出所要的結論.（3） 換元的思想：求抽象函數(shù)、復合函數(shù)求導、求偏導、求微分、利用三角換元來進行不定積分或圓和橢圓等曲線方程的計算、第一換元積分、第二換元積分、曲線積分、極坐標與直角坐標轉(zhuǎn)換等問題，均可利用換元的思想進行變換從而得以解決.（4） 構造函數(shù)的思想：通過構造某種函數(shù)，可以使問題得以轉(zhuǎn)化，從而利用所構造函數(shù)的各種性質(zhì)和運算得以解決.例如，構造函數(shù)的思想可應用于拉格朗日中值定理的證明，結合函數(shù)的極值和最值或者零值定理、介值定理等定理來進行不等式的證明，以及用于實際應用等題目中，這是一種解決問題極為有效的手段.（5） 方程（組）解的思想：許多問題，例如，求某些微分方程的特解、求曲線方程的交點、線性代數(shù)中形如AX=B（其中A和B為矩陣或者向量）等，都可以歸結為求方程（組）解的問題.這些解常常是對應函數(shù)在一定條件下的臨界點.通過對它們進行討論，就可得出對應函數(shù)的性質(zhì).例如，一元二次方程F（x）=0在>0條件下的解將坐標軸分成了3個區(qū)間，可利用數(shù)形結合來討論對應函數(shù)F（x）在某特定區(qū)間的符號等.（6） 從特殊到一般的思想：常用于求微分方程、求mn線性方程組等的通解的問題中，通過求解出某些特解，從而可得到通解的一般形式；泰勒展開式、麥克勞林展開式等也可看作通過某些特殊點的函數(shù)值和各階導數(shù)值而得出函數(shù)的一般表達式.此外，數(shù)學歸納法也可看作是從特殊到一般過渡的一種推理方法.在實際做選擇題時，可利用某些特殊值和特殊函數(shù)，迅速得出結果.（7） 拆分的思想：拆分的思想實質(zhì)上是化整為零，逐個擊破.例如：利用題目所給條件或者被積函數(shù)的奇偶性、對稱性等，進行積分上下限的分割，用分割法求定積分面積、求體積、求曲面積分，等等.分類討論也可歸為此類思想，當題目中所給的條件存在著多種可能結果時，常需要進行討論.例如：討論曲線方程F(x)和G（x）的交點個數(shù)，常常通過轉(zhuǎn)化為F(x)-G（x）=0，并判斷有幾個解來解決.（8） 湊的思想：在解決求極限、利用定義湊導數(shù)的形式、證明不等式、分式的拆分等問題和定積分類實際應用題中利用模型湊出被積函數(shù)從而進行積分，以及線性代數(shù)中湊上三角、下三角來求行列式的值，湊零來簡化行列式的運算等問題中，常用到湊的思想. 這種方法也往往要一定的技巧，需要進行訓練.（9） 取反的思想：在不方便直接求解問題時，常常可通過求解其反面來解決，原理可表示為A所求=A總-A余.例如：在所求圖形的面積較難計算而總面積和其他部分的面積易求時，可利用取反來解決；在計算復雜事件的概率時，通過先求其對立事件概率，進而求得所求事件的概率.此外，求逆矩陣、求反函數(shù)也可歸為此類，有時可以方便地解決問題.數(shù)學是一門博大精深的學科，其中蘊含著豐富的思想和智慧，有待大家在學習中慢慢發(fā)現(xiàn)、體會、領悟.只有掌握了這些思想，才能看透題目的本質(zhì)，做到融會貫通，以不變應萬變.特別應該強調(diào)一點，那就是數(shù)學當中所有用到的定理、思想、方法都有一定的適用范圍和條件，在解題之前必須要進行觀察和判定，以免掉入命題者的陷阱，例如，洛必達法則適用于求0/0型或者無窮/無窮型的極限，用它求極限之前必須判斷是否滿足這兩種類型，如果不滿足而用了洛必達法則，結果肯定會出錯.這就要求必須學會讀題，練就一雙慧眼，學會從題目所給的條件中提煉出有效、正確的信息，來引領解題思路.這必須要通過扎實基礎、多做題、多練習、多獨立分析題目來強化.只有我們面對一道題時，知道它要考什么，有哪些條件可以利用，才能正確地解答出題目.三、 學習建議6月以前：第一輪基礎復習.7月9月：第二輪強化復習.10月11月中旬：第三輪沖刺復習.11月中旬考前：第四輪點睛復習.
朱祥和
2016年10月于中國人民大學靜園