【學習提要】
　　函數是微積分的主要研究對象，極限是微積分的理論基礎，函數的連續(xù)性是函數可導與可積的重要條件，所以函數、極限和連續(xù)都是微積分的基礎。本章是學好微積分的基石，這部分知識在考研真題中通常會出現兩道小題或一道大題，且由于后面各章節(jié)中多數考點會涉及函數、連續(xù)的概念，并且在綜合題中常用到極限和閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，因此考生在復習時要靈活掌握，在了解理論的基礎上融會貫通。
　　【考試要求】
　　1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關系。
　　2.了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。
　　3.理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。
　　4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念。
　　5.了解數列極限和函數極限（包括左極限與右極限）的概念。
　　6.了解極限的性質與極限存在的兩個準則，掌握極限的四則運算法則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
　　7.理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。
　　8.理解函數連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數間斷點的類型。
　　9.了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性、大值和小值定理、介值定理)，并會應用這些性質。
　　一、函數
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　　1.函數的概念
　　設數集D�糝，則稱映射f：D→R為定義在D上的函數，記為y=f(x)，x∈D，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域。
　　2.函數的表示法
　　函數的表示法有：解析法，列表法，圖像法。
　�。ǘ�）函數的性質
　　1.單調性
　　設函數f(x)的定義域為D,(a,b)�糄,則
　�。�1）若對任意的x1,x2∈(a,b),當x1f(x2))，則稱f(x)在(a,b)上單調遞增（或單調遞減）;
　�。�2）若對任意的x1,x2∈(a,b)，當x1　　判定方法：①f(x1)與f(x2)作差后與0比較（或f(x1)與f(x2)作商后與1比較）；②使用結論:可導函數f(x)單調不減（不增）的充要條件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)。
　　2.有界性
　　(1)若存在常數M，使f(x)≤M,x∈D，則稱f(x)有上界；
　　(2)若存在常數m,使f(x)≥m,x∈D,則稱f(x)有下界；
　　(3)若f(x)既有上界又有下界，則稱f(x)有界。
　　結論：①f(x)有界的充要條件為存在常數M＞0，使f(x)≤M;②閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定有界（有界性定理）；③函數有極限（收斂）�菥植坑薪�；④有界是可積的必要條件（可積一定有界，反之不然）。
　　注：可積一定有界只是針對定積分而言的。
　　3.奇偶性
　　若f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數；若f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數。
　　注：f(x)-f(-x)為奇函數;f(x)+f(-x)為偶函數。
　　結論：①若f(x)為可積的奇函數，則∫a-af(x)dx=0；②若f(x)為可積的偶函數，則∫a-af(x)dx=2∫a0f(x)dx；③若f(x)為一般可積函數，則∫a-af(x)dx=∫a0［f(x)+f(-x)］dx；④可導的奇（偶）函數每求一次導，其奇偶性發(fā)生一次改變（如F（x）是連續(xù)的奇函數，則F′（x）為偶函數）。
　　注：當遇到積分的上下限互為相反數時，應優(yōu)先考慮利用被積函數的奇偶性簡化計算。
　　4.周期性
　　若存在T≠0，使f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是以T為周期的周期函數。
　　結論：若T為f(x)的周期，那么kT也是f(x)的周期,k=1,2,3,…。
　　注：周期函數未必有小正周期。
　　結論：①可導的周期函數的導函數仍然是周期函數，且周期不變；②若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數，則∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx。
　�。ㄈ�）常見函數類型
　　1.基本初等函數
　　冪函數：y=xμ(μ∈R是常數);
　　指數函數：y=ax(a>0且a≠1);
　　對數函數:y=logax(a>0且a≠1，特別當a=e時，記為y=lnx);
　　三角函數：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等;
　　反三角函數：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。
　　2.初等函數
　　由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數，例如y=sinx+ex。
　　3.反函數
　　設函數y=f(x)的定義域是D，值域是W。如果對于W內的每一個y，由y=f（x）可以確定唯一的x∈D,這樣在W上定義了一個函數，稱為y=f(x)的反函數，記為x=f-1(y),y∈W。
　　習慣上自變量用x表示，因變量用y表示。一般的，y=f(x),x∈D的反函數記成y=f－1(x),x∈W。在同一坐標系中，y=f(x)和它的反函數y=f－1(x)具有相同的單調性，且它們的圖形關于直線y=x是對稱的。
　　4.隱函數
　　如果變量x,y滿足方程F(x,y)=0，在給定條件下，當x取某區(qū)間的任一值時，相應地總有滿足該方程的唯一的y值與之對應，則說明方程F(x,y)=0在該區(qū)間內確定了一個隱函數。
　　5.復合函數
　　設函數y=f(u)的定義域是Df,函數u=φ(x)的定義域是Dφ,且Rφ�糄f，則稱函數y=f［φ(x)］為復合函數，它的定義域是{xx∈Dφ},u稱為中間變量，x稱為自變量。
　　6.分段函數
　　用解析法表示的函數，若在其定義域D的各個不相交的子集上，分別用不同的式子表示，則該函數稱為分段函數。
　　常見的分段函數:
　　（1）絕對值函數y=x=x,x≥0,
　　-x,x<0。
　　（2）大值函數max{f1(x),f2(x)}=f1(x),{xf1(x)≥f2(x)},
　　f2(x),{xf1(x)　　小值函數min{f1(x),f2(x)}=f2(x),{xf1(x)≥f2(x)},
　　f1(x),{xf1(x)　�。�3）取整函數［x］或intx，表示不超過x的大整數。
　　（4）符號函數y=sgnx=1,x>0,
　　0,x=0,
　　-1,x<0。
　　（5）狄利克雷（Dirichlet）函數y=D(x)=1,x是有理數,
　　0，x是無理數。
　　二、極限
　�。ㄒ唬�極限的概念
　　1.數列極限
　　設{xn}為一數列，limn→∞xn=A，A為常數�趯θ我獾摩�>0，存在正整數N，當n>N時，有xn-A<ε。則稱常數A是數列{xn}的極限。
　　2.函數極限
　　設函數f(x)的定義域是R，存在常數A，limx→∞f(x)=A�趯θ我獾摩�>0,存在X>0,當x>X時，有f(x)-A<ε。
　　3.函數左、右極限
　　若存在常數A,對于任意給定的正數ε>0，總存在δ>0，使得當0　　若存在常數A，對于任意給定的正數ε>0,總存在δ>0,使得當0　　結論：函數f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等，即
　　f(x-0)=f(x+0)=A,
　　因此，即使f(x-0)和f(x+0)都存在，但若不相等，則limx→x0f(x)也不存在。
　�。ǘ�）極限的相關性質
　　1.數列收斂的性質
　�。�1）唯一性
　　如果數列{xn}收斂，那么它的極限唯一。
　�。�2）收斂數列的有界性
　　如果數列｛xn｝收斂，那么數列{xn}一定有界。
　�。�3）收斂數列的保號性
　　如果limn→∞xn=a,且a>0(或a<0)，那么存在正整數N>0,當n>N時，都有xn>0(或xn<0)。
　　2.函數收斂的性質
　　(1)唯一性
　　設limx→x0f(x)=A,limx→x0f(x)=B,則A=B。
　　(2)局部有界性
　　設limx→x0f(x)=A,則存在δ>0和M>0，使當0　　(3)局部保號性
　　設limx→x0f(x)=A,且A>0(或<0),則存在δ>0,使當00(或<0),反之，若f(x)>0（或<0）,且limx→x0f(x)=A存在，則A≥0(或≤0)。
　　推論若limx→x0f(x)=A(A≠0)，那么存在x0的某一去心鄰域Uο(x0),當x∈Uο(x0)時，有
　　f(x)>A2。
　�。ㄈ�）極限存在準則
　　1.夾逼準則
　　對于自變量x的同一變化過程，若limg(x)=limh(x)=A，且g(x)≤f(x)≤h(x)，則limf(x)=A。
　　2.單調有界原理
　　設數列{un}單調增加（減少）且有上（下）界M(m)，則極限limn→∞un存在，且limn→∞un≤M(≥m)。
　�。ㄋ模�極限的四則運算法則
　　設有函數f(x),g(x),如果在自變量的同一變化過程中，有l(wèi)imf(x)=a,limg(x)=b,則
　　(1)lim［f(x)±g(x)］=limf(x)±limg(x)=a±b;
　　(2)lim［f(x)·g(x)］=limf(x)·limg(x)=ab;
　　(3)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ab(b≠0);
　　(4)lim［cf(x)］=climf(x)=ca,其中c為常數;
　　（5）若limf(x)存在，則lim［f(x)］n=［limf(x)］n，n是任意正整數。
　�。ㄎ澹﹥蓚�重要極限
　　1.limx→0sinxx=1；
　　2.limx→0(1+x)1x=e或limx→∞1+1xx=e。
　�。�六）無窮小、無窮大
　　1.定義
　　無窮小量:若limx→x0f(x)=0(或limx→∞f(x)=0),則稱函數f(x)是當x→x0(或x→∞)時的無窮小量，簡稱無窮小。
　　無窮大量:若limx→x0f(x)=∞(或limx→∞f(x)=∞),則稱函數f(x)是當x→x0(或x→∞)時的無窮大量，簡稱無窮大。
　　2.無窮小量的性質
　　(1)在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則1f(x)為無窮�。环粗�，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，則1f(x)為無窮大。
　　(2)有限個無窮小的和也是無窮小。
　　(3)有界函數與無窮小的乘積是無窮小。
　　(4)常數與無窮小的乘積是無窮小。
　　(5)有限個無窮小的乘積也是無窮小。
　　3.無窮小量α(x),β(x)的階
　　設α(x)與β(x)都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小，且β(x)≠0。
　　(1)若limα(x)β(x)=0,則α(x)是比β(x)高階的無窮小，記為α(x)=ο［β(x)］;
　　(2)若limα(x)β(x)=∞,則α(x)是比β(x)低階的無窮小;
　　(3)若limα(x)β(x)=C≠0,則α(x)與β(x)是同階無窮小;
　　(4)若limα(x)β(x)=1,則α(x)與β(x)是等價無窮小，記為α(x)~β(x);
　　(5)若limα(x)βk(x)=C≠0(k>0),則α(x)是β(x)的k階無窮小。
　　4.幾個常用的等價無窮小量
　　x→0時，
　　x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~ex-1~ax-1lna~(1+x)a-1a，
　　1-cosx~12x2,x-sinx~16x3。